No. de microestados y macroestados para un sistema

Question

No. de microestados y macroestados para un sistema

imbAF

Digamos que tenemos un sistema S (un gas cuántico, ya sea un bosón o un gas fermión), compuesto por muchos subsistemas, que indexaremos con $i$ . Un subsistema se caracteriza por:

$\bar {\epsilon_i}$ es el valor de energía promedio.

$g_i$ nr. de diferentes valores de energía que puede tomar una partícula ubicada en este subsistema.

$n_i$ el número de partículas en el subsistema.

Ahora, si solo observamos un subsistema arbitrario con una energía promedio $\bar {\epsilon_i}$ :

Un microestado , sería un arreglo del $n_i$ partículas en el $g_i$ valores de energía. Si por un momento no nos preocupamos por el tipo de gas (ocupación individual o ocupación múltiple) y el tipo de partículas (distinguibles o indistinguibles), sino que simplemente decimos que el número de microestados, el número de arreglos posibles de $n_i$ partículas en el $g_i$ valores de energía es $w(i)$ .

Ahora el problema para mí es el número de macroestados.

Un macroestado del subsistema puede tener como característica el valor de energía cuando $n_i$ Las partículas se colocan en el $g_i$ valores de energía. Entonces:

$E_i=\Sigma_{k=1}^g n_i^k\epsilon_i^k$ .

Quiero saber, ¿cuál es el número de macroestados para el subsistema?

El número de macroestados debe ser menor que el nr. de microestados. Por ejemplo, podemos tener x arreglos de las partículas, cuya energía total es la misma. Este es un macroestado con una multiplicidad de x. Entonces, ¿cómo encuentro el nr. de macroestados?

lili fn

Si los valores de energía están espaciados uniformemente y cada partícula puede tomarlos todos, esto es equivalente a preguntar qué valor tiene la suma de

n_{i}

$n_i$ números elegidos de

{0, 1, . . ., g_{i}}

$\{0, 1, ..., g_i\}$ puede tomar - y la respuesta es cualquier cosa entre

0

$0$ y

n_{i} g_{i}

$n_i g_i$ .

imbAF

¿No debería ser algo entre

n_{i}^{1} ϵ_{i}^{1}

$n_i^1\epsilon_i^1$ y

n_{i}^{g} ϵ_{i}^{g}

$n_i^g\epsilon_i^g$ ? ¿Cuál es el valor mínimo y máximo de energía que pueden tomar las partículas, si permitimos la ocupación múltiple?

lili fn

Entendí por su pregunta que está solicitando la cantidad de macroestados para uno de los subsistemas específicos con índice

i

$i$ . Y, por supuesto, podemos multiplicar por

ϵ_{i}

$\epsilon_i$ si esas son las unidades de energía para el

i

$i$ subsistema, pero la respuesta (el número de macroestados) es la misma.

Respuestas (1)

No. de microestados y macroestados para un sistema

Si los valores de energía están espaciados uniformemente y cada partícula puede tomarlos todos, esto es equivalente a preguntar qué valor tiene la suma de $n_i$ números elegidos de $\{0, 1, ..., g_i\}$ puede tomar - y la respuesta es cualquier cosa entre $0$ y $n_i g_i$ .
¿No debería ser algo entre $n_i^1\epsilon_i^1$ y $n_i^g\epsilon_i^g$ ? ¿Cuál es el valor mínimo y máximo de energía que pueden tomar las partículas, si permitimos la ocupación múltiple?
Entendí por su pregunta que está solicitando la cantidad de macroestados para uno de los subsistemas específicos con índice $i$ . Y, por supuesto, podemos multiplicar por $\epsilon_i$ si esas son las unidades de energía para el $i$ subsistema, pero la respuesta (el número de macroestados) es la misma.

ytlu · Answer 1

Los términos utilizados aquí son una especie de confusión. Primero aclarémoslos.

El sistema macroscópico está especificado por algunos parámetros termodinámicos, como el número total $N$ , volumen $V$ y energía media $U$ . Estos parámetros definen un estado macroscópico, un estado macroscópico.

Entonces, con estos parámetros dados, ¿cuál es el número de estados microscópicos que satisfacen estos macroparámetros? Esto se conoce como el número de configuraciones microscópicas, o la multiplicidad microscópica. Precisamente, podemos llamarlo the microscopic multiplicity of the given macroscopic state.

Para su caso, podemos descuidar el índice $i$ por simplicidad. Las condiciones de restricción para contar la multiplicidad son

\begin{aligned} \sum_{k} {norte}_{k} & = norte . descuidó el índice i . \\ \sum {norte}_{k} ϵ_{k} & = mi . \end{aligned}

$\begin{align*} \sum_k n_k &= n.\,\,\, \text{neglected the index $i$.}\\ \sum n_k \epsilon_k &= E. \end{align*}$ Y la multiplicidad es

gramo (norte, mi) = \frac{norte!}{\prod_{k} {norte}_{k}!}

$g(n, E) = \frac{n!}{\prod_k n_k!}$

Luego, supongamos que trabajamos en un conjunto canónico, restauramos el índice $i$ ( $n_i = n$ para conjunto canónico) para sumar para la función de partición:

Z_{norte} = \sum_{i} {gramo}_{i} (norte, {mi}_{i}) {mi}^{- β {mi}_{i}} = \sum_{i} \frac{norte!}{\prod_{k} {norte}_{k}!} {mi}^{- β {mi}_{i}}

$Z_n = \sum_i g_i(n, E_i) e^{-\beta E_i} = \sum_i\frac{n!}{\prod_k n_k!} e^{-\beta E_i}$

Bajo gran conjunto canónico ( $n\to n_i$ , $n_k \to n_{ik}$ ):

Z_{norte} = \sum_{i} {gramo}_{i} ({norte}_{i}, {mi}_{i}) {mi}^{- β ({mi}_{i} - m {norte}_{i})} = \sum_{i} \frac{{norte}_{i}!}{\prod_{k} {norte}_{i k}!} {mi}^{- β ({mi}_{i} - m {norte}_{i})}

$Z_n = \sum_i g_i(n_i, E_i) e^{-\beta (E_i - \mu n_i)} = \sum_i \frac{n_i!}{\prod_k n_{ik}!} e^{-\beta (E_i - \mu n_i)}$

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lili fn

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lili fn

Respuestas (1)

ytlu

¿Pueden existir concretamente dos o más bosones en el mismo punto exacto del espacio al mismo tiempo?

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