Cálculo del período de una órbita cuasi circular

Question

Cálculo del período de una órbita cuasi circular

Física
mecanica clasica
teoría de la perturbación
deberes-y-ejercicios

rafael

Al resolver un ejercicio tuve que encontrar la ecuación de las órbitas cuasi circulares de un objeto con el potencial $V(r)=-\alpha r^{-1-\eta}$ y lo expresé como:

r (ϕ) = \frac{r_{C}}{1 + ϵ porque (ϕ \sqrt{1 - η})}

$r(\phi)=\frac{r_c}{1+\epsilon \cos(\phi\sqrt{1-\eta})}$ Dónde

r_{c}

$r_c$ es el radio de la órbita circular y

ϵ

$\epsilon$ depende de las condiciones iniciales. Ahora (entre otras cosas) me preguntan sobre el período del movimiento. Pensé que para encontrar el período debería integrar

ϕ (t)

$\phi(t)$ utilizando la conservación del momento angular

L

$L$ en la forma

\dot{ϕ} (t) = \frac{L}{m r^{2} (ϕ)}

$\dot\phi(t)=\frac{L}{mr^2(\phi)}$ . Esta integración no es nada fácil y, en mi opinión, solo puede ser aproximada.

Sin embargo, el autor del ejercicio escribió que el período se puede encontrar fácilmente por $mr_c^22\pi/T=L$ pero no explica por qué. Mi pregunta es de dónde viene esta fórmula y si es exacta o solo una aproximación.

Ron Maimón

Eso es porque

m r^{2} ω

$mr^2\omega$ es el momento angular.

rafael

@RonMaimon Lo sé, pero

ω (t)

$\omega(t)$ es una función del tiempo, por lo que no es necesariamente

2 π / T

$2\pi/T$

Ron Maimón

El compañero está ignorando la no circularidad a primer orden.

Respuestas (2)

Cálculo del período de una órbita cuasi circular

@RonMaimon Lo sé, pero $\omega(t)$ es una función del tiempo, por lo que no es necesariamente $2\pi/T$
El compañero está ignorando la no circularidad a primer orden.

kbeta · Answer 1

Creo que "cuasi circular" es un nombre engañoso para este problema. ¿Quizás "cuasi-elíptica" sería mejor? Digo esto porque este problema, de hecho, contiene una órbita circular cerrada (cuyo radio has llamado $r_c$ ). Para esa órbita, puede encontrar el período utilizando la segunda ley de Kepler, que da el resultado que muestra.

Una forma interesante de abordar este problema es considerar solo pequeñas oscilaciones radiales alrededor del círculo. Encuentre la frecuencia de oscilación expandiendo el potencial efectivo sobre el mínimo. Vea cómo esto se relaciona con la frecuencia de la órbita circular. Que pasa cuando $\eta\rightarrow 0$ ? Debe encontrar que en ese caso (ley de la fuerza del cuadrado inverso), la frecuencia de oscilación pequeña es idéntica a la frecuencia de la órbita circular. Esta es otra forma de ver que las órbitas deben ser elipsoidales. Pero, para distinto de cero $\eta$ , este ya no es el caso. Para pequeños $\eta$ , en su lugar, obtiene puntos suspensivos que simplemente no se cierran. Estas elipses de precesión están descritas por la fórmula radial que diste.

carl brannen · Answer 2

Su problema es uno de un potencial que depende solo del radio. Newton demostró que con este tipo de problemas, el momento angular se conserva. Su instructor usó este hecho bien conocido.

Cálculo del período de una órbita cuasi circular

rafael

Ron Maimón

rafael

Ron Maimón

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kbeta

carl brannen

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