Cómo usar un círculo tangente en un método numérico para una ecuación diferencial de valores complejos

Si resuelves la ecuación

$$\frac{dz}{dt}=-i\omega z$$

con valor inicial$z(0)=1$usted obtiene

$$z = e^{-i\omega t}$$

que traza una circunferencia en el plano complejo con velocidad angular$-\omega$. Si intenta el método de Euler para aproximar la solución, diverge porque

$$z_1 = z_0 + h(-i\omega)z_0 = (1-ih\omega)z_0$$

y

$$|z_1| = |1-ih\omega| = \sqrt{1+(h\omega)^2}$$

para$h,\omega >0$. Asimismo$|z_{n+1}|>|z_n|$para cada$n\in\mathbb{N}$.

Estoy tratando de pensar en formas de arreglar esto, para que$|z_{n+1}| \leq |z_n|$y preferentemente con igualdad. Intenté usar el segundo término de la serie de Taylor para que la aproximación no fuera simplemente una aproximación lineal, sino que persistía el mismo problema.

Se me ocurre que un mejor método podría ser aproximar esto no con un polinomio sino con un círculo. Recuerdo del cálculo 3 el círculo osculador, pero eso era para una curva cuya parametrización ya conocíamos, así que no estoy seguro de poder aprovechar eso. Otro pensamiento es que en lugar del esquema

$$y_{n+1}=y_n+hy'_n$$

que se mueve de$y_n$linealmente sumando un múltiplo de$h$, podría querer rotar usando la multiplicación compleja, algo así como$z_{n+1}=z_nr_ne^{i\omega_nh}$dónde$r_n\in\mathbb{R}$sería el radio de la rotación, mayor para cuando sea apropiada una curvatura mayor, y$\omega_n$controlando la velocidad y la dirección--nuevamente, por supuesto,$h$sirviendo como tamaño de paso. Probablemente necesitaría hacer algo para solucionar el problema de ubicar el centro de la rotación.

Sé que lo que hice no está del todo bien porque también tendría que tener en cuenta el centro de la rotación, pero antes de seguir ese camino, quería saber si lo que estoy intentando es viable. El gran obstáculo que no puedo entender es cómo podría decidir$r_n$y$\omega_n$en cada etapa, utilizando únicamente la información derivada. Si lo entiendo bien,$\frac{dz}{dt}$da solo la aproximación lineal de la dirección del número complejo, como con un vector.