Mayor grupo de simetría posible de Lagrangian

En el caso del campo escalar, el Lagrangiano viene dado por:

$$\mathcal{L} = \sum_{i=1}^N \frac{1}{2}\partial_{\mu} \bar{\Phi}_i\partial^{\mu} \Phi_i + m^2 \bar{\Phi}_i \Phi_i$$ Tiene un $U(N)$simetría bajo la transformación: $$\Phi'_i = \sum_{i=1}^N U_{ij} \Phi_j, \quad U\in U(N)$$ Si escribimos el campo escalar en términos de sus componentes reales e imaginarias $$\Phi_i = \phi_{i} + i \phi_{i+N}$$ El lagrangiano se convierte en un $2N$campo escalar real -dimensional $$\mathcal{L} = \sum_{i=1}^{2N} \frac{1}{2}\partial_{\mu} \phi_i\partial^{\mu} \phi_i + m^2 \phi_i \phi_i$$ El lagrangiano tiene un $O(2N)$simetría bajo: $$\phi'_i = \sum_{i=1}^{2N} O_{ij} \phi_j, \quad O\in O(2N)$$ Como es el mismo lagrangiano, entonces debe tener ambas simetrías. La diferencia entre los dos casos, es que la primera transformación no mezcla entre los componentes real e imaginario de los campos, mientras que la segunda sí. Claramente, el segundo caso incluye al primero: $U(N)\subset O(2N)$. de hecho el $U(N)$La matriz se puede escribir en $SO(2N)$base como: $$O_U = \begin{pmatrix}\operatorname{Re}U & -\operatorname{Im}U\\ \operatorname{Im}U & \operatorname{Re}U \end{pmatrix}$$ Por lo tanto, la respuesta a la primera pregunta es $SO(2N)$.

la segunda pregunta

Una teoría de Dirac de una sola especie no tiene simetrías internas (tiene simetría de Lorentz y el caso sin masa, una simetría conforme, pero estas son simetrías de espacio-tiempo). Sin embargo, en un momento fijo, tiene una simetría interna. La simetría de un fermión masivo es$U(2)\times U(2)$. La simetría se debe a que allí el espectro incluye dos autovalores positivos degenerados y dos negativos. Sin embargo, en el caso sin masa, la simetría se reduce a$U(1) \times U(1)$, porque no hay energías negativas a la derecha ni soluciones de energía positiva a la izquierda de la ecuación de Weyl.

Detalles

El hamiltoniano de Dirac:

$$H(\mathbf{p})= c \mathbf{\alpha} \cdot \mathbf{ p} + \beta m c^2$$ Se puede diagonalizar exactamente para un dado $\mathbf{p}$mediante la transformación unitaria $$U_{\mathbf{ p} } = \exp \left ( \frac{\mathbf{\alpha} \cdot \mathbf{ p} }{| \mathbf{ p}|} \tan^{-1} \frac{| \mathbf{ p}|}{mc}\right )$$ De este modo $$H(\mathbf{p})= U_{\mathbf{ p} } \begin{pmatrix}E_{|\mathbf{ p}|} & & & \\ & E_{|\mathbf{ p}|} & & \\ & & - E_{|\mathbf{ p}|} &\\ & & & - E_{|\mathbf{ p}|} \end{pmatrix} U_{\mathbf{ p} }$$ Con $$E_{|\mathbf{ p}|} = \sqrt{| \mathbf{ p}|^2 + m^2 c^4}$$ Por lo tanto, el hamiltoniano es invariante bajo la transformación de similitud unitaria dada en forma de bloque $$U = U_{\mathbf{ p} } \begin{pmatrix}A & 0 \\0 & B\end{pmatrix}U_{\mathbf{ p} }^{-1}$$

Con ambos$A,B \in U(2)$. Esta es la simetría$U(2)\times U(2)$En el caso sin masa, los vectores propios correspondientes a las quiralidades izquierda y derecha se desacoplan y nos quedamos con$U(1)\times U(1)$cada.