¿Cómo se definen con precisión las simetrías?

¿Qué es una teoría/modelo físico?

Una teoría física dada es típicamente modelada matemáticamente por algún conjunto$\mathscr O$de objetos matemáticos, y algunas reglas que nos dicen cómo estos objetos se corresponden con un sistema físico y nos permiten predecir qué sucederá con ese sistema.

Por ejemplo, muchos sistemas en la mecánica clásica se pueden describir mediante un par$(\mathcal C, L)$dónde$\mathcal C$es el espacio de configuración del sistema (a menudo una variedad), y$L$es una función de las rutas en ese espacio de configuración. Este modelo se acompaña luego de reglas como "los elementos de$\mathcal C$corresponden a las posiciones posibles del sistema" y "dada una configuración inicial del sistema y su velocidad inicial, las ecuaciones de Euler-Lagrange para$L$determinar la configuración y la velocidad del sistema para tiempos posteriores".

¿Qué es una simetría?

Si pensamos en la física como una colección de tales modelos, podemos definir la simetría de un sistema como una transformación en el conjunto$\mathscr O$de objetos en el modelo tal que el conjunto transformado$\mathscr O'$de objetos produce la misma física . Tenga en cuenta que estoy usando deliberadamente la frase algo vaga "produce la misma física" aquí porque lo que significa esa frase depende del contexto. En breve:

Una simetría es la transformación de un modelo que no cambia la física que predice.

Por ejemplo, para el modelo$(\mathcal C, L)$arriba, una simetría sería una transformación que mapea el Lagrangiano$L$a un nuevo lagrangiano$L'$en el mismo espacio de configuración tal que el conjunto de soluciones a las ecuaciones de Euler-Lagrange para$L$es igual al conjunto de soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange para$L'$. Incluso en este caso, es interesante notar que$L$no necesita ser invariante bajo la transformación para que este sea el caso. De hecho, se puede demostrar que es suficiente para$L'$diferir de$L$por una derivada del tiempo total. Esto trae a colación un punto importante;

Una simetría no necesariamente tiene que ser una invariancia de un objeto matemático dado. Existen simetrías de sistemas físicos que cambian los objetos matemáticos que describen el sistema pero que, sin embargo, dejan la física sin cambios.

Otro ejemplo para enfatizar este punto es que en la electrodinámica clásica, se puede hacer describir el modelo en términos de potenciales$\Phi, \mathbf A$en lugar de en términos de los campos$\mathbf E$y$\mathbf B$. En este caso, cualquier transformación de calibre de los potenciales conducirá a la misma física porque no cambiará los campos. Entonces, si tuviéramos que modelar el sistema con potenciales, entonces vemos que existen transformaciones de los objetos en el modelo que los cambian pero que, sin embargo, conducen a la misma física.

¿Cómo se relacionan los grupos con todo esto?

Muchas veces, las transformaciones de un modelo que uno considera forman acciones de grupos. Una acción de grupo es una especie de objeto matemático que asocia una transformación sobre un conjunto dado con cada elemento del grupo de tal manera que se conserva la estructura del grupo.

Tomemos, por ejemplo, el sistema$(\mathcal C, L)$desde arriba. Suponer que$\mathcal C$es el espacio de configuración de una partícula que se mueve en un potencial de fuerza central, y$L$es el lagrangiano apropiado. Se puede definir una acción$\phi$del grupo de$G= \mathrm{SO}(3)$del conjunto de rotaciones$R$uno el espacio de caminos admisibles$\mathbf x(t)$en el espacio de configuración de la siguiente manera:

Muchas veces los objetos que describen un modelo dado involucran un espacio vectorial. Por ejemplo, el espacio de estado de un sistema cuántico es un tipo especial de espacio vectorial llamado espacio de Hilbert. En tales casos, a menudo es útil considerar cierto tipo de acción de grupo llamada representación de grupo . Esto lleva a estudiar un tema enorme y hermoso llamado teoría de la representación de grupos.

¿Son los grupos el final de la historia?

Definitivamente no. Es posible que otros tipos de objetos matemáticos generen simetrías. Un ejemplo común es el de las simetrías generadas por representaciones de cierto tipo de objeto matemático llamado álgebra de Lie. En este caso, como en el caso de los grupos, se puede estudiar la teoría de la representación de las álgebras de Lie, que es, en sí misma, también un enorme y rico campo de las matemáticas.

Incluso este no es el final de la historia. Hay todo tipo de modelos que admiten simetrías generadas por tipos de objetos más exóticos como en el contexto de la supersimetría donde se consideran objetos llamados álgebras de Lie graduadas.

La mayor parte de las matemáticas de este material cae, generalmente, bajo el nombre de teoría de la representación .

La simetría está presente cuando algo$x$no cambia bajo alguna transformación$T$:

En un cilindro infinito, hay simetría radial porque si te mueves a una altura y un radio constantes, ves la misma figura.

En el caso lagrangiano, si cambias las coordenadas, el lagrangiano no cambia.$L(x') =L(x)$

En la teoría de grupos, los elementos del grupo representarán algún tipo de transformaciones. Esto tendrá alguna simetría asociada.

Por ejemplo:

• $GL(n,\mathbb{R})$(grupo de todas las matrices reales) conserva los puntos para estar en$\mathbb{R}$.

• $SL(n,\mathbb{R})$(grupo de todas las matrices reales con$\det=1$) conserva volúmenes. Recuerde que podemos definir un volumen como determinante de vectores.

• $O(n)$(grupo de rotación) conserva las distancias (producto escalar con una métrica euclidiana).

• Y muchos más...

Y tenga en cuenta que hay muchas simetrías que no tienen nada que ver con la física, como 2125922464947725402112000 simetrías del cubo de Rubik, que se describe en el grupo del cubo de Rubik .

A medida que te sumerjas en Física, aprenderás muchas más simetrías: difeomorfismos, fijación de indicadores, CPT en QFT, el teorema de Noether...

De hecho, las simetrías tienen un impacto amplio y poderoso en la física, y solo podré rascar la superficie del tema en esta respuesta, pero intentaré darle una idea del tema.

En el marco más simple, menciona un problema electrostático. En tal problema, el factor clave son las simetrías geométricas que se aplican a las partículas cargadas. Por ejemplo, si el volumen cargado es simétrico con respecto al plano$z=0$, entonces todo el sistema físico admite esta simetría. En consecuencia, el campo eléctrico respeta la misma simetría. Entonces por un punto$r$ubicado en este plano,$E(r)$debe ser igual a su simétrica con respecto a dicho plano, lo que impone que su$z$componente sea 0.

Entonces, aquí vemos un ejemplo donde se dice que una propiedad geométrica, respetada por las causas, debe ser respetada por los efectos, y nos da una pista sobre las propiedades de tales efectos.

La formulación más general es, de hecho, la formulación de Susskind, pero debe considerar "Lagrangiano" en su boca, en el sentido de "la ecuación fundamental a la que obedece el sistema". Entonces, lo que realmente quiere decir es que si una simetría deja sin cambios las ecuaciones que impulsan un sistema, entonces se dice que dicho sistema físico respeta tal simetría. Y por lo general, se pueden sacar conclusiones muy profundas de este mero hecho (piense en las fuerzas centrales, por ejemplo).

De hecho, la segunda definición anterior es la misma que el caso simple anterior: todo lo que escribí sobre las cargas y el campo eléctrico está contenido en la definición de Susskind, si reemplaza "coordenadas" con "coordenadas espaciales" y "Lagrangian" con "ecuaciones de Maxwell" , que son solo una formulación más simple del Lagrangiano en un contexto específico.

Entonces, realmente, lo que escuchas en los cursos básicos de física es la definición correcta, pero expresada de una manera algo descuidada y aplicada en un contexto restringido.

La teoría de grupos está estrechamente relacionada con las simetrías de sistemas porque todas las operaciones de simetría que dejan un sistema físico sin cambios forman un grupo: puedes comprobar por ti mismo que la composición de dos de esas simetrías dejan las ecuaciones del sistema sin cambios, que la transformación de identidad deja las ecuaciones del sistema sin cambios, y que por cada transformación que deja sin cambios las ecuaciones del sistema, su inversa también las deja sin cambios. Entonces, naturalmente, estás tratando con álgebra de grupos. Desempeña un papel crucial en la materia condensada, por ejemplo, porque las simetrías de un cristal determinan las simetrías del potencial en el que se mueven los electrones y, por lo tanto, las simetrías que dejan sin cambios al hamiltoniano (equivalente a hablar del lagrangiano o de las ecuaciones de movimiento en un escenario más simple).

Me gustaría mencionar la simetría traslacional, que es tan simple que a veces se olvida, pero la simetría traslacional para todos los vectores espaciales (en otras palabras, la homogeneidad del espacio) te permite mostrar que el momento se conserva, es decir, que una partícula se mueve con una velocidad constante si la masa es constante. Una simetría de traslación más restringida se encuentra en los cristales, donde la simetría de traslación solo es válida para los vectores de la red subyacente, lo que lleva a conclusiones no menos poderosas con el teorema de Bloch y sus aplicaciones fundamentales en las teorías del transporte y muchas otras áreas de la física de la materia condensada.

Finalmente, me gustaría enfatizar que cuando Susskind dice "coordenadas", no se refiere únicamente a "coordenadas espaciales". La simetría temporal es otra simetría importante. Más generalmente, cualquier coordenada, en el sentido de cualquier coordenada generalizada en función de la cual se puede escribir el lagrangiano o el hamiltoniano, puede ser objeto de operaciones de simetría.

Como conclusión recomendaría la lectura del primer volumen del curso de física teórica, de Landau y Lifschitz. Encontrará hermosas ideas basadas en la simetría en los capítulos I.1 a I.9