Matriz general Transformación de Lorentz

Question

Matriz general Transformación de Lorentz

Física
tiempo espacial
marcos inerciales
lorentz-simetría
sistemas coordinados
relatividad especial

usuario3604362

Acabo de terminar un curso de introducción a la teoría de la relatividad y estoy tratando de encontrar la transformación de Lorentz de la matriz general. Ya he investigado esta pregunta , pero no pude hacer mucho al respecto.

Básicamente, sabemos que para un vector espacial que relaciona un marco S y S':

[\begin{matrix} C t \\ X \end{matrix}] = [\begin{matrix} γ & γ β \\ γ β & γ \end{matrix}] [\begin{matrix} C t^{'} \\ X^{'} \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} ct \\ x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & \gamma \beta \\ \gamma \beta & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct' \\ x' \end{bmatrix} \end{equation}$ Esto lo simplifico a

x = L_{1} x^{'}

$x = L_1 x'$ . Por lo tanto, mi pensamiento es que si S' se mueve desde S en dos coordenadas espaciales (

x

$x$ y

y

$y$ ), entonces puedo usar el primer movimiento

x

$x$ y luego en

y

$y$ , tal que

x = L_{1} L_{2} x^{'}

$x=L_1 L_2 x'$ , donde en

L_{1}

$L_1$ me quedo con el

y

$y$ coordenada fija, y en

L_{2}

$L_2$ Mantengo la coordenada x fija. Escribir esto sería:

[\begin{matrix} C t \\ X \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} γ_{X} & γ_{X} β_{X} & 0 \\ γ_{X} β_{X} & γ_{X} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} γ_{y} & 0 & γ_{y} β_{y} \\ 0 & 1 & 0 \\ γ_{y} β_{y} & 0 & γ_{y} \end{matrix}] [\begin{matrix} C t^{'} \\ X^{'} \\ y^{'} \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} ct \\ x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma_x & \gamma_x \beta_x & 0\\ \gamma_x \beta_x & \gamma_x & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma_y & 0 &\gamma_y \beta_y\\ 0 & 1 & 0\\ \gamma_y \beta_y & 0& \gamma_y\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct' \\ x' \\ y' \end{bmatrix} \end{equation}$

[\begin{matrix} C t \\ X \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} γ_{X} γ_{y} & γ_{X} β_{X} & γ_{X} γ_{y} β_{y} \\ γ_{X} β_{X} γ_{y} & γ_{X} & γ_{X} β_{X} γ_{y} β_{y} \\ γ_{y} β_{y} & 0 & γ_{y} \end{matrix}] [\begin{matrix} C t^{'} \\ X^{'} \\ y^{'} \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} ct \\ x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma_x \gamma_y & \gamma_x \beta_x & \gamma_x \gamma_y \beta_y\\ \gamma_x \beta_x \gamma_y & \gamma_x & \gamma_x \beta_x \gamma_y \beta_y\\ \gamma_y \beta_y & 0 & \gamma_y\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct' \\ x' \\ y' \end{bmatrix} \end{equation}$ A mí todo esto me parece bastante claro, pero cuando trato de aplicarlo a la suma de velocidades, obtengo resultados falsos. Por lo que pude entender, el cero en la última matriz de 3x3 está mal (que tampoco desaparecerá si agrego una coordenada z también...).

Por lo tanto, espero que alguien pueda indicarme dónde estoy haciendo algo mal al intentar crear una ecuación de matriz de Lorentz más general. Encontré en wikipedia una gran ecuación matricial, pero debido a que comienza hablando de rotaciones y demás, además de que no muestra cómo se juntan los componentes, la descarté por ahora.

(En caso de que esto sea correcto y mi sensación de que me equivoqué es falsa debido al método de adición de velocidad que aplico, hágamelo saber y también puedo dar más detalles sobre ese método).

proyecto de ley n

La electrodinámica clásica de JD Jackson describe esto. Básicamente, hay una sola

γ

$\gamma$ y tres componentes de la velocidad, y debe considerar matrices de rotación infinitesimales. Mira esto: si tu

L_{1}

$L_1$ y

L_{2}

$L_2$ no viaje, no está haciendo la transformación correctamente para obtener un resultado 3D general. Y no viajan.

Frobenius

La composición de dos transformaciones de Lorentz dimensionales de 1 espacio (obviamente a lo largo del mismo eje) también es una transformación de Lorentz dimensional de 1 espacio. Pero la composición de una transformación de Lorentz dimensional de un espacio a lo largo de

x -

$\:x-$ eje y una transformación de Lorentz dimensional de un espacio a lo largo

y^{'} -

$\:y'\!-$ El eje es una transformación de Lorentz dimensional de 2 espacios más una rotación.

usuario3604362

@Frobenius, eso realmente tiene sentido. Me pregunto cómo se haría una rotación en cuatro dimensiones (en el caso de que la expandiera para incluir también la coordenada z).

Frobenius

... la rotación es bidimensional en este caso. Estoy preparando un nuevo comentario. Ser paciente.

Frobenius

En mi respuesta como "usuario82794": Dos conjuntos de coordenadas, cada uno en marcos OO y O′O′ (transformación de Lorentz) y en la SECCIÓN B , produzco una transformación de Lorentz más general a partir de la dimensión de 1 espacio. Mis resultados son idénticos a los dados sin prueba en "ELECTRODINÁMICA CLÁSICA" por JDJackson, 3ra Edición, §§ 11.3.

Frobenius

\begin{aligned} (A-01a) & X^{'} & = X + (γ - 1) (norte \cdot X) norte - γ v t \\ (A-01b) & t^{'} & = γ (t - \frac{v \cdot X}{C^{2}}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} & = \mathbf{x}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\cdot \mathbf{x})\mathbf{n}-\gamma \mathbf{v}t \tag{A-01a}\\ t^{\boldsymbol{\prime}} & = \gamma\left(t-\dfrac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{x}}{c^{2}}\right) \tag{A-01b} \end{align}$ dónde

n = \frac{v}{‖ v ‖}

$\mathbf{n}=\dfrac{\mathbf{v}}{\Vert\mathbf{v}\Vert}$ .

usuario3604362

@Frobenius, ¡gracias! Lo estudiaré, ¡pero parece prometedor!

usuario3604362

@Frobenius, solo reviso mi idea y su comentario de tener que agregar un término de rotación: ¿No tengo en cuenta la rotación cuando defino el LT en y tal que x permanece constante? La forma en que lo armé es usando la adición de velocidad, de modo que desde un cuadro S a S' nos movemos a lo largo del eje x (un LT en x), luego de S' a S'', donde S'' se mueve en el dirección y (y por tanto una LT en y). Dado que LT(S->S')LT(S'->S'') = LT(S->S''), habría imaginado que mi idea era correcta.

Respuestas (1)

Matriz general Transformación de Lorentz

La electrodinámica clásica de JD Jackson describe esto. Básicamente, hay una sola $\gamma$ y tres componentes de la velocidad, y debe considerar matrices de rotación infinitesimales. Mira esto: si tu $L_1$ y $L_2$ no viaje, no está haciendo la transformación correctamente para obtener un resultado 3D general. Y no viajan.
La composición de dos transformaciones de Lorentz dimensionales de 1 espacio (obviamente a lo largo del mismo eje) también es una transformación de Lorentz dimensional de 1 espacio. Pero la composición de una transformación de Lorentz dimensional de un espacio a lo largo de $\:x-$ eje y una transformación de Lorentz dimensional de un espacio a lo largo $\:y'\!-$ El eje es una transformación de Lorentz dimensional de 2 espacios más una rotación.
@Frobenius, eso realmente tiene sentido. Me pregunto cómo se haría una rotación en cuatro dimensiones (en el caso de que la expandiera para incluir también la coordenada z).
... la rotación es bidimensional en este caso. Estoy preparando un nuevo comentario. Ser paciente.
En mi respuesta como "usuario82794": Dos conjuntos de coordenadas, cada uno en marcos OO y O′O′ (transformación de Lorentz) y en la SECCIÓN B , produzco una transformación de Lorentz más general a partir de la dimensión de 1 espacio. Mis resultados son idénticos a los dados sin prueba en "ELECTRODINÁMICA CLÁSICA" por JDJackson, 3ra Edición, §§ 11.3.
$\begin{aligned} (A-01a) & X^{'} & = X + (γ - 1) (norte \cdot X) norte - γ v t \\ (A-01b) & t^{'} & = γ (t - \frac{v \cdot X}{C^{2}}) \end{aligned}$ $\begin{align} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} & = \mathbf{x}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\cdot \mathbf{x})\mathbf{n}-\gamma \mathbf{v}t \tag{A-01a}\\ t^{\boldsymbol{\prime}} & = \gamma\left(t-\dfrac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{x}}{c^{2}}\right) \tag{A-01b} \end{align}$ dónde $\mathbf{n}=\dfrac{\mathbf{v}}{\Vert\mathbf{v}\Vert}$ .
@Frobenius, ¡gracias! Lo estudiaré, ¡pero parece prometedor!
@Frobenius, solo reviso mi idea y su comentario de tener que agregar un término de rotación: ¿No tengo en cuenta la rotación cuando defino el LT en y tal que x permanece constante? La forma en que lo armé es usando la adición de velocidad, de modo que desde un cuadro S a S' nos movemos a lo largo del eje x (un LT en x), luego de S' a S'', donde S'' se mueve en el dirección y (y por tanto una LT en y). Dado que LT(S->S')LT(S'->S'') = LT(S->S''), habría imaginado que mi idea era correcta.

Frobenius · Answer 1

De la figura 01:

Transformación de Lorentz de $\:\mathrm{S}\equiv \{xy\eta, \eta=ct\}\:$ a $\:\mathrm{S_{1}}\equiv \{x_{1}y_{1}\eta_{1}, \eta_{1}=ct_{1}\}\:$

\begin{matrix} (01) & [\begin{matrix} X_{1} \\ y_{1} \\ η_{1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} aporrear ζ & 0 & - pecado ζ \\ 0 & 1 & 0 \\ - pecado ζ & 0 & aporrear ζ \end{matrix}] [\begin{matrix} X \\ y \\ η \end{matrix}], bronceado ζ = \frac{tu}{C} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ \eta_{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \hphantom{-}\cosh\zeta & 0 & -\sinh\zeta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sinh\zeta & 0 & \hphantom{-}\cosh\zeta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \eta \end{bmatrix} \,, \quad \tanh\zeta=\dfrac{u}{c} \tag{01} \end{equation}$ o

\begin{matrix} (01") & X_{1} = L_{1} X, L_{1} = [\begin{matrix} aporrear ζ & 0 & - pecado ζ \\ 0 & 1 & 0 \\ - pecado ζ & 0 & aporrear ζ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{X_{1}}=\mathrm{L_{1}}\mathbf{X}\,, \qquad \mathrm{L_{1}}= \begin{bmatrix} \hphantom{-}\cosh\zeta & 0 & -\sinh\zeta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sinh\zeta & 0 & \hphantom{-}\cosh\zeta \\ \end{bmatrix} \tag{01"} \end{equation}$

De la Figura 02:

Transformación de Lorentz de $\:\mathrm{S_{1}}\equiv \{x_{1}y_{1}\eta_{1}, \eta_{1}=ct_{1}\}\:$ a $\:\mathrm{S_{2}}\equiv \{x_{2}y_{2}\eta_{2}, \eta_{2}=ct_{2}\}\:$

\begin{matrix} (02) & [\begin{matrix} X_{2} \\ y_{2} \\ η_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & aporrear ξ & - pecado ξ \\ 0 & - pecado ξ & aporrear ξ \end{matrix}] [\begin{matrix} X_{1} \\ y_{1} \\ η_{1} \end{matrix}], bronceado ξ = \frac{w}{C} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{bmatrix} x_{2}\\ y_{2}\\ \eta_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &\hphantom{-}\cosh\xi & -\sinh\xi \\ 0 & -\sinh\xi & \hphantom{-}\cosh\xi \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ \eta_{1} \end{bmatrix} \,, \quad \tanh\xi=\dfrac{w}{c} \tag{02} \end{equation}$ o

\begin{matrix} (02") & X_{2} = L_{2} X_{1}, L_{2} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & aporrear ξ & - pecado ξ \\ 0 & - pecado ξ & aporrear ξ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{X_{2}}=\mathrm{L_{2}}\mathbf{X_{1}}\,, \qquad \mathrm{L_{2}}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &\hphantom{-}\cosh\xi & -\sinh\xi \\ 0 & -\sinh\xi & \hphantom{-}\cosh\xi \\ \end{bmatrix} \tag{02"} \end{equation}$ Tenga en cuenta que, debido a las configuraciones estándar, las matrices

L_{1}, L_{2}

$\:\mathrm{L_{1}}, \mathrm{L_{2}}\:$ son realmente simétricos.

De las ecuaciones (01) y (02) tenemos

\begin{matrix} (03) & X_{2} = L_{2} X_{1} = L_{2} L_{1} X ⟹ X_{2} = Λ X \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{X_{2}}=\mathrm{L_{2}}\mathbf{X_{1}}=\mathrm{L_{2}}\mathrm{L_{1}}\mathbf{X}\Longrightarrow \mathbf{X_{2}}=\Lambda\mathbf{X} \tag{03} \end{equation}$ dónde

Λ

$\:\Lambda\:$ la composición de las dos Transformaciones de Lorentz

L_{1}, L_{2}

$\:\mathrm{L_{1}}, \mathrm{L_{2}}\:$

\begin{matrix} (04) & Λ = L_{2} L_{1} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & aporrear ξ & - pecado ξ \\ 0 & - pecado ξ & aporrear ξ \end{matrix}] [\begin{matrix} aporrear ζ & 0 & - pecado ζ \\ 0 & 1 & 0 \\ - pecado ζ & 0 & aporrear ζ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \Lambda=\mathrm{L_{2}}\mathrm{L_{1}}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &\hphantom{-}\cosh\xi & -\sinh\xi \\ 0 & -\sinh\xi & \hphantom{-}\cosh\xi \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hphantom{-}\cosh\zeta & 0 & -\sinh\zeta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sinh\zeta & 0 & \hphantom{-}\cosh\zeta \\ \end{bmatrix} \tag{04} \end{equation}$ eso es

\begin{matrix} (04") & Λ = [\begin{matrix} aporrear ζ & 0 & - pecado ζ \\ pecado ζ pecado ξ & aporrear ξ & - aporrear ζ pecado ξ \\ - pecado ζ aporrear ξ & - pecado ξ & aporrear ζ aporrear ξ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \Lambda= \begin{bmatrix} \hphantom{-}\cosh\zeta & 0 & -\sinh\zeta \\ \hphantom{-}\sinh\zeta\sinh\xi &\hphantom{-}\cosh\xi & -\cosh\zeta\sinh\xi \\ -\sinh\zeta\cosh\xi & -\sinh\xi & \hphantom{-}\cosh\zeta\cosh\xi \\ \end{bmatrix} \tag{04"} \end{equation}$

La matriz de transformación de Lorentz $\:\Lambda\:$ no es simétrico, por lo que los sistemas $\:\mathrm{S},\mathrm{S_{2}}\:$ no están en la configuración estándar. Pero podría escribirse como

\begin{matrix} (05) & Λ = R \cdot L \end{matrix}

$\begin{equation} \Lambda=\mathrm{R}\cdot\mathrm{L} \tag{05} \end{equation}$ dónde

L

$\:\mathrm{L}\:$ es la matriz de transformación de Lorentz simétrica de

S

$\:\mathrm{S}\:$ a un sistema intermedio

S_{2}^{'}

$\:\mathrm{S'_{2}}\:$ en configuración estándar a él y co-moviéndose con

S_{2}

$\:\mathrm{S_{2}}\:$ , mientras

R

$\:\mathrm{R}\:$ es una transformación puramente espacial de

S_{2}^{'}

$\:\mathrm{S'_{2}}\:$ a

S_{2}

$\:\mathrm{S_{2}}$ .

Ahora te toca a ti encontrar la matriz de transformación de Lorentz $\:\mathrm{L}\:$ primero y luego probar que $\:\mathrm{R}\:$ es

\begin{matrix} (06) & R = [\begin{matrix} porque ϕ & - pecado ϕ & 0 \\ pecado ϕ & porque ϕ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}], dónde broncearse ϕ = \frac{pecado ζ pecado ξ}{aporrear ζ + aporrear ξ}, ϕ \in (- \frac{π}{2}, + \frac{π}{2}) \end{matrix}

$\begin{equation} \boxed{\color{blue}{\:\:\mathrm{R}= \begin{bmatrix} \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi &\hphantom{-}\cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \,, \:\text{where}\: \tan\phi =\dfrac{\sinh\zeta\sinh\xi} {\cosh\zeta+\cosh\xi}\,, \: \phi \in \left(-\dfrac{\pi}{2},+\dfrac{\pi}{2}\right)}\:\:\vphantom{\begin{matrix}1\\1\\1\\1\\1\end{matrix}}} \tag{06} \end{equation}$ que representa una rotación plana desde

S_{2}^{'}

$\:\mathrm{S'_{2}}\:$ a

S_{2}

$\:\mathrm{S_{2}}\:$ , consulte la figura 03.

EDITAR

^{La matriz de transformación de Lorentz $\:\mathrm{L}\:$ , de $\:\mathrm{S}\:$ al sistema intermedio $\:\mathrm{S'_{2}}\:$ en la configuración estándar, es:}

\begin{matrix} (07) & L (υ) = [\begin{matrix} 1 + (γ_{υ} - 1) {norte}_{X}^{2} & (γ_{υ} - 1) {norte}_{X} {norte}_{y} & - \frac{γ_{υ} υ_{X}}{C} \\ (γ_{υ} - 1) {norte}_{y} {norte}_{X} & 1 + (γ_{υ} - 1) {norte}_{y}^{2} & - \frac{γ_{υ} υ_{y}}{C} \\ - \frac{γ_{υ} υ_{X}}{C} & - \frac{γ_{υ} υ_{y}}{C} & γ_{υ} \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{L}\left(\boldsymbol{\upsilon} \right)= \begin{bmatrix} 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}^{2}_{x} & \left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}_{x}\mathrm{n}_{y} & \!-\dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{x}}{c} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}_{y}\mathrm{n}_{x} & 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}^{2}_{y} & \!-\dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{y}}{c} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \!-\dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{x}}{c} & \!-\dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{y}}{c} & \gamma_{\!\upsilon} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{07} \end{equation}$ en (07)

\begin{aligned} (08.1) & υ & = (υ_{X}, υ_{y}) \\ (08.2) & norte & = ({norte}_{X}, {norte}_{y}) = \frac{υ}{‖ υ ‖} = \frac{υ}{υ} \\ (08.3) & γ_{υ} & = {(1 - \frac{υ^{2}}{C^{2}})}^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{υ^{2}}{C^{2}}}} \end{aligned}

$\begin{align} \boldsymbol{\upsilon} & = \left(\upsilon_{x},\upsilon_{y}\right) \tag{08.1}\\ \mathbf{n} & = \left(\mathrm{n}_{x},\mathrm{n}_{y}\right)=\dfrac{\boldsymbol{\upsilon}}{\Vert\boldsymbol{\upsilon}\Vert}=\dfrac{\boldsymbol{\upsilon}}{\upsilon} \tag{08.2}\\ \gamma_{\upsilon} & = \left(\!1\!-\!\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)^{-\frac12}=\dfrac{1}{\sqrt{\!1\!-\!\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}} \tag{08.3} \end{align}$ dónde

υ

$\:\boldsymbol{\upsilon}\:$ es el vector velocidad del origen

{O^{'}}_{2} (\equiv O_{2})

$\:\mathrm{O'}_{\!\!2}\left(\equiv \mathrm{O}_{2}\right)\:$ con respecto a

S

$\:\mathrm{S}$ ,

n

$\:\mathbf{n}\:$ el vector unitario a lo largo

υ

$\:\boldsymbol{\upsilon}\:$ y

γ_{υ}

$\:\gamma_{\upsilon}\:$ el correspondiente

γ -

$\:\gamma-$ factor.

^{El vector de velocidad $\:\boldsymbol{\upsilon}\:$ podría expresarse en términos de la rapidez $\:\zeta,\xi\:$ y así podríamos expresar la matriz $\:\mathrm{L}\:$ como función de ellos. Para comenzar con esto primero notamos que el vector velocidad $\:\boldsymbol{\upsilon}\:$ es la suma relativista de dos vectores de velocidad ortogonales $\:\mathbf{u}=\left(u\,,0\right),\mathbf{w}=\left(0\,,w\right)$}

\begin{matrix} (09) & υ = tu + \frac{w}{γ_{tu}} = [tu, {(1 - \frac{{tu}^{2}}{C^{2}})}^{\frac{1}{2}} w], γ_{tu} = {(1 - \frac{{tu}^{2}}{C^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \end{matrix}

$\begin{equation} \boldsymbol{\upsilon}=\mathbf{u}+\dfrac{\mathbf{w}}{\gamma_{\!u}}=\left[u\,,\left(\!1\!-\!\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{\!\!\frac12}\!\!w\right]\,,\quad \gamma_{u} = \left(\!1\!-\!\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{\!\!-\frac12} \tag{09} \end{equation}$ no debe confundirse con la suma relativista de dos vectores de velocidad colineales que apuntan a la misma dirección

\begin{matrix} (10) & υ \neq \frac{tu + w}{1 + \frac{tu w}{C^{2}}} \end{matrix}

$\begin{equation} \upsilon \ne \dfrac{u\!+\!w}{1+\dfrac{uw}{c^{2}}} \tag{10} \end{equation}$ De (09) tenemos

\begin{aligned} (11.1) & \frac{υ_{X}}{C} & = \frac{tu}{C} = bronceado ζ \\ (11.2) & \frac{υ_{y}}{C} & = \frac{w}{γ_{tu} C} = \frac{bronceado ξ}{aporrear ζ} \\ (11.3) & {(\frac{υ}{C})}^{2} & = {(\frac{υ_{X}}{C})}^{2} + {(\frac{υ_{y}}{C})}^{2} = 1 - {(\frac{1}{aporrear ζ aporrear ξ})}^{2} = \frac{γ_{υ}^{2} - 1}{γ_{υ}^{2}} \\ (11.4) & γ_{υ} & = {(1 - \frac{υ^{2}}{C^{2}})}^{- \frac{1}{2}} = aporrear ζ aporrear ξ \end{aligned}

$\begin{align} \dfrac{\upsilon_{x}}{c} & = \dfrac{u}{\:\:c\:\:}=\tanh\zeta \tag{11.1}\\ \dfrac{\upsilon_{y}}{c} & = \dfrac{w}{\gamma_{u}c}= \dfrac{\tanh\xi}{\cosh\zeta} \tag{11.2}\\ \left(\dfrac{\upsilon}{c}\right)^{2} & = \left(\dfrac{\upsilon_{x}}{c}\right)^{2}+\left(\dfrac{\upsilon_{y}}{c}\right)^{2}=1-\left(\dfrac{1}{\cosh\zeta\cosh\xi}\right)^{2}=\dfrac{\gamma^{2}_{\upsilon}\!-\!1}{\gamma^{2}_{\upsilon}} \tag{11.3}\\ \gamma_{\upsilon} & = \left(\!1\!-\!\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)^{-\frac12}=\cosh\zeta\cosh\xi \tag{11.4} \end{align}$ y

\begin{aligned} (12.1) & \frac{γ_{υ} υ_{X}}{C} & = pecado ζ aporrear ξ \\ (12.2) & \frac{γ_{υ} υ_{y}}{C} & = pecado ξ \\ (12.3) & 1 + (γ_{υ} - 1) {norte}_{X}^{2} & = 1 + (γ_{υ} - 1) \frac{{(\frac{υ_{X}}{C})}^{2}}{{(\frac{υ}{C})}^{2}} = 1 + \frac{γ_{υ}^{2}}{1 + γ_{υ}} {bronceado}^{2} ζ = 1 + \frac{{pecado}^{2} ζ {aporrear}^{2} ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ} \\ (12.4) & 1 + (γ_{υ} - 1) {norte}_{y}^{2} & = 1 + (γ_{υ} - 1) \frac{{(\frac{υ_{y}}{C})}^{2}}{{(\frac{υ}{C})}^{2}} = 1 + \frac{γ_{υ}^{2}}{1 + γ_{υ}} \frac{{bronceado}^{2} ξ}{{aporrear}^{2} ζ} = 1 + \frac{{pecado}^{2} ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ} \\ (12.5) & (γ_{υ} - 1) {norte}_{X} {norte}_{y} & = (γ_{υ} - 1) \frac{(\frac{υ_{X}}{C}) (\frac{υ_{y}}{C})}{{(\frac{υ}{C})}^{2}} = \frac{γ_{υ}^{2}}{1 + γ_{υ}} \frac{bronceado ζ bronceado ξ}{aporrear ζ} = \frac{pecado ζ pecado ξ aporrear ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ} \end{aligned}

$\begin{align} \dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{x}}{c} & = \sinh\zeta \cosh\xi \tag{12.1}\\ \dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{y}}{c} & = \sinh\xi \tag{12.2}\\ 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}^{2}_{x} & = 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\dfrac{\left(\dfrac{\upsilon_{x}}{c}\right)^{2}}{\left(\dfrac{\upsilon}{c}\right)^{2}}=1\!+\!\dfrac{\gamma^{2}_{\!\upsilon}}{1\!+\!\gamma_{\!\upsilon}}\tanh^{2}\!\zeta=1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\zeta\cosh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} \tag{12.3}\\ 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}^{2}_{y} & = 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\dfrac{\left(\dfrac{\upsilon_{y}}{c}\right)^{2}}{\left(\dfrac{\upsilon}{c}\right)^{2}}=1\!+\!\dfrac{\gamma^{2}_{\!\upsilon}}{1\!+\!\gamma_{\!\upsilon}}\dfrac{\tanh^{2}\!\xi}{\cosh^{2}\!\zeta}=1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} \tag{12.4}\\ \left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}_{x}\mathrm{n}_{y} & =\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\dfrac{\left(\dfrac{\upsilon_{x}}{c}\right)\!\!\left(\dfrac{\upsilon_{y}}{c}\right)}{\left(\dfrac{\upsilon}{c}\right)^{2}}=\dfrac{\gamma^{2}_{\!\upsilon}}{1\!+\!\gamma_{\!\upsilon}}\dfrac{\tanh\!\zeta\tanh\!\xi}{\cosh\!\zeta}=\dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} \tag{12.5} \end{align}$ Entonces la matriz

L (υ)

$\:\mathrm{L}\left(\boldsymbol{\upsilon} \right)\:$ de la ecuación (07) en función de las rapidezes

ζ, ξ

$\:\zeta,\xi\:$ es

\begin{matrix} (13) & L (υ) = [\begin{matrix} 1 + \frac{{pecado}^{2} ζ {aporrear}^{2} ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ} & \frac{pecado ζ pecado ξ aporrear ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ} & - pecado ζ aporrear ξ \\ \frac{pecado ζ pecado ξ aporrear ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ} & 1 + \frac{{pecado}^{2} ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ} & - pecado ξ \\ - pecado ζ aporrear ξ & - pecado ξ & aporrear ζ aporrear ξ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{L}\left(\boldsymbol{\upsilon} \right)= \begin{bmatrix} 1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\zeta\cosh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \!-\sinh\zeta \cosh\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & 1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \!-\sinh\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \!-\sinh\zeta \cosh\xi & \!-\sinh\xi & \cosh\zeta\cosh\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{13} \end{equation}$ Ahora, para determinar la transformación espacial

R

$\:\mathrm{R}\:$ tenemos desde (05)

\begin{matrix} (14) & R = Λ \cdot L^{- 1} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{R}=\Lambda\cdot\mathrm{L}^{-1} \tag{14} \end{equation}$ Para

L^{- 1}

$\:\mathrm{L}^{-1}\:$ la ecuación (07) produce

\begin{matrix} (15) & L^{- 1} = L (- υ) = [\begin{matrix} 1 + (γ_{υ} - 1) {norte}_{X}^{2} & (γ_{υ} - 1) {norte}_{X} {norte}_{y} & \frac{γ_{υ} υ_{X}}{C} \\ (γ_{υ} - 1) {norte}_{y} {norte}_{X} & 1 + (γ_{υ} - 1) {norte}_{y}^{2} & \frac{γ_{υ} υ_{y}}{C} \\ \frac{γ_{υ} υ_{X}}{C} & \frac{γ_{υ} υ_{y}}{C} & γ_{υ} \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{L}^{-1}=\mathrm{L}\left(\!-\!\boldsymbol{\upsilon} \right)= \begin{bmatrix} 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}^{2}_{x} & \left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}_{x}\mathrm{n}_{y} & \dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{x}}{c} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}_{y}\mathrm{n}_{x} & 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}^{2}_{y} & \dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{y}}{c} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{x}}{c} & \dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{y}}{c} & \gamma_{\!\upsilon} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{15} \end{equation}$ y de (13)

\begin{matrix} (dieciséis) & L^{- 1} = [\begin{matrix} 1 + \frac{{pecado}^{2} ζ {aporrear}^{2} ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ} & \frac{pecado ζ pecado ξ aporrear ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ} & pecado ζ aporrear ξ \\ \frac{pecado ζ pecado ξ aporrear ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ} & 1 + \frac{{pecado}^{2} ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ} & pecado ξ \\ pecado ζ aporrear ξ & pecado ξ & aporrear ζ aporrear ξ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{L}^{-1}= \begin{bmatrix} 1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\zeta\cosh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \sinh\!\zeta \cosh\!\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & 1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \sinh\!\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \sinh\!\zeta \cosh\!\xi & \sinh\!\xi & \cosh\!\zeta\cosh\!\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{16} \end{equation}$ Entonces

\begin{matrix} (17) & R = [\begin{matrix} aporrear ζ & 0 & - pecado ζ \\ pecado ζ pecado ξ & aporrear ξ & - aporrear ζ pecado ξ \\ - pecado ζ aporrear ξ & - pecado ξ & aporrear ζ aporrear ξ \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 + \frac{{pecado}^{2} ζ {aporrear}^{2} ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ} & \frac{pecado ζ pecado ξ aporrear ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ} & pecado ζ aporrear ξ \\ \frac{pecado ζ pecado ξ aporrear ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ} & 1 + \frac{{pecado}^{2} ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ} & pecado ξ \\ pecado ζ aporrear ξ & pecado ξ & aporrear ζ aporrear ξ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{R}= \begin{bmatrix} \hphantom{-}\cosh\zeta & 0 & -\sinh\zeta \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \hphantom{-}\sinh\zeta\sinh\xi &\hphantom{-}\cosh\xi & -\cosh\zeta\sinh\xi\vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \\ -\sinh\zeta\cosh\xi & -\sinh\xi & \hphantom{-}\cosh\zeta\cosh\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\zeta\cosh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \sinh\!\zeta \cosh\!\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & 1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \sinh\!\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \sinh\!\zeta \cosh\!\xi & \sinh\!\xi & \cosh\!\zeta\cosh\!\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{17} \end{equation}$ La multiplicación de matrices anterior termina en la siguiente expresión

\begin{matrix} (18) & R = [\begin{matrix} \frac{aporrear ζ + aporrear ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ} & - \frac{pecado ζ pecado ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ} & 0 \\ \frac{pecado ζ pecado ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ} & \frac{aporrear ζ + aporrear ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{R}= \begin{bmatrix} \dfrac{\cosh\!\zeta\!+\!\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} &\!- \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \hphantom{-} 0 \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \hphantom{\!-} \dfrac{\cosh\!\zeta\!+\!\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \hphantom{-} 0 \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ 0 & 0 & \hphantom{-} 1 \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{18} \end{equation}$ Pero

\begin{matrix} (19) & {(\frac{aporrear ζ + aporrear ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ})}^{2} + {(\frac{pecado ζ pecado ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ})}^{2} = 1 \end{matrix}

$\begin{equation} \left(\dfrac{\cosh\!\zeta\!+\!\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi}\right)^{2}=1 \tag{19} \end{equation}$ para que podamos definir

\begin{matrix} (20) & porque ϕ \overset{d mi F}{\equiv} \frac{aporrear ζ + aporrear ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ}, pecado ϕ = \frac{pecado ζ pecado ξ}{1 + aporrear ζ aporrear ξ}, ϕ \in (- \frac{π}{2}, + \frac{π}{2}) \end{matrix}

$\begin{equation} \cos\phi \stackrel{def}{\equiv}\dfrac{\cosh\!\zeta\!+\!\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi}\,, \qquad \sin\phi =\dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi}\,, \qquad \phi \in \left(-\tfrac{\pi}{2},+\tfrac{\pi}{2}\right) \tag{20} \end{equation}$ y finalmente

\begin{matrix} (21) & R = [\begin{matrix} porque ϕ & - pecado ϕ & 0 \\ pecado ϕ & porque ϕ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{R}= \begin{bmatrix} \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi &\hphantom{-}\cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \tag{21} \end{equation}$ demostrando que

R

$\:\mathrm{R}\:$ es una rotación, ver Figura 03.

¡Esta es una respuesta increíble! ¡Gracias por todo el esfuerzo! Puedo seguirte en todo. Todavía estoy luchando para entender por qué se produce la rotación (sé que las matemáticas lo dicen, pero ¿qué dicen?). ¿Es porque tratamos de alinear el eje x en la dirección en que se aleja el sistema S2?
Es permisible decir que para el sistema $\:\mathrm{S}\:$ sus ejes son paralelos a los ejes de $\:\mathrm{S_{1}}\:$ y viceversa porque los ejes $\:x, x_{1}\:$ son colineales y $\:y, y_{1}\:$ son normales al vector velocidad $\:\mathbf{u}\:$ . Esto es válido también entre sistemas $\:\mathrm{S_{1}},\mathrm{S_{2}}\:$ desde ejes $\:y_{1},y_{2}\:$ son colineales y $\:x_{1}, x_{2}\:$ son normales al vector velocidad $\:\mathbf{w}\:$ . pero decir eso $\:\mathrm{S}\:$ y $\:\mathrm{S'_{2}}\:$ se mueven con ejes paralelos no está permitido ya que no tiene sentido.
Esto se debe al hecho de que una línea recta descansa en el sistema. $\:\mathrm{S'_{2}}\:$ oblicua al vector velocidad $\:\boldsymbol{\upsilon}\:$ , como su eje $\:x'_{2}\:$ por ejemplo, es en cualquier momento $\:t'_{2}\:$ un conjunto de eventos simultáneos en $\:\mathrm{S'_{2}}\:$ pero no simultáneos en $\:\mathrm{S}\:$ . Entonces para $\:\mathrm{S}\:$ ni siquiera existe una linea recta, imagen de eje $\:x'_{2}\:$ .
Bien. Eso tiene sentido ahora. ¡Muchas gracias por todo tu esfuerzo! Definitivamente repasaré esto unas cuantas veces más, ¡pero esto es oro!
@Frobenius Hola, ¿puedes eliminar tu comentario anterior, por favor, porque están fuera de tema?

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