Diagramas de Minkowski: cuándo proyectar paralelo a qué ejes

Question

Diagramas de Minkowski: cuándo proyectar paralelo a qué ejes

Física
tiempo espacial
marcos inerciales
lorentz-simetría
sistemas coordinados
relatividad especial

Doryan Miller

Antes de comenzar, prometo que esto no es un duplicado. He leído todas las preguntas relacionadas respondidas, y ninguna de ellas tiene la información que estoy buscando. A continuación, he adjuntado un diagrama de espacio-tiempo con un par de eventos etiquetados, así como lo que supongo que serán sus proyecciones transformadas de Lorentz en el otro cuadro. Considero que el marco primario es el que se mueve y el que no está preparado para estar en reposo.

Hasta ahora, he estado resolviendo problemas muy bien usando estos diagramas, junto con los cálculos explícitos, pero parece que me topé con una pared intuitiva cuando comencé a hacer algunas preguntas extrañas.

Mi primera pregunta es sobre $E_1$ . Este evento ocurre en t'=0, pero en un x' distinto de cero, y si $c t=\gamma(c t'+\beta x')$ , entonces naturalmente tenemos $ct \neq 0$ . Sin embargo, no estoy seguro de cuáles serán las coordenadas de este evento en R. Creo que tengo bien la coordenada espacial solo por proyectar en paralelo a la $ct'$ eje, y viendo donde esa línea corta el $x$ eje. Tampoco tengo claro cuál debería ser la coordenada de tiempo. Mi intuición, basada en lo que hice con la última coordenada, me dice que dibuje una línea a través $E_1$ paralelo a la $x'$ eje, pero eso me lleva a $t=0$ , lo cual es falso. La suposición de la línea azul para una proyección me lleva a un valor negativo, al contrario de lo que debería ver en base a las matemáticas, y esto me deja con la línea marrón, que es paralela a la $x$ eje.

Mi confusión surge del hecho de que, para eventos que ocurren en el mismo lugar en R, la transformación de las coordenadas implicaba proyectar paralelas a $ct'$ y $x'$ . Yo pensaría que para pasar de R' a R tendría que proyectarse en paralelo a los ejes de R, pero esto no parece funcionar cuando se resuelven otros problemas.

Supongo que mi pregunta principal es, ¿cuándo proyecto paralelo a los ejes imprimados y cuándo proyecto paralelo a los ejes no imprimados? ¿A qué correspondería esa línea de proyección roja? Pensé que había entendido esto y he estado resolviendo problemas, pero, por desgracia, estoy perplejo ahora que tengo esto en mente.

Respuestas (2)

Diagramas de Minkowski: cuándo proyectar paralelo a qué ejes

kluonk · Answer 1

Creo que en realidad lo hiciste correctamente sin saber cuál es cuál. (Omitiré el factor c por simplicidad)

Solo como aclaración: R denota el sistema de coordenadas no imprimado, R' el imprimado. Primero, explicaré la técnica en general antes de usar sus coordenadas específicas.

Lectura de las coordenadas en R

las coordenadas de

{mi}_{1} = (t_{1}, X_{1})

$E_1 = (t_1, x_1)$ se puede leer en el diagrama como en cualquier otro sistema de coordenadas cartesianas. Para leer el componente de tiempo, simplemente puede ir a la izquierda, paralelo a la

x

$x$ -eje hasta cruzar el

t

$t$ -eje. Esto corresponde a la línea marrón que ha dibujado en su diagrama.

Para leer el componente espacial $x_1$ se puede bajar, paralelo a la $t$ -eje hasta cruzar el $x$ -eje. El punto de cruce es tu coordenada. $x_1$ , la proyección de la línea roja.

Lectura de las coordenadas en R'

Para leer las coordenadas en el sistema cebado,

{mi}_{1}^{'} = (t_{1}^{'}, X_{1}^{'}),

$E_1' = (t_1', x_1'),$ la técnica es casi la misma, pero dado que sus ejes ya no son horizontales y verticales, no puede simplemente ir a la izquierda resp. bajar más.

Para leer el componente espacial $x_1'$ dibujas una línea que pasa por el evento $E_1$ que es paralela a la $t'$ -eje. El componente de tiempo $t'$ se puede leer dibujando una línea paralela a la $x'$ eje.

En términos generales, lo más importante es que, cuando lee las coordenadas en un sistema, no le importa el eje en el otro sistema.

Aplicado al ejemplo

Entonces el evento $E_1$ en el sistema cebado $R'$ es

{mi}_{1}^{'} = (0, X_{1}^{'})

$E_1' = (0, x_1')$ Como mencionaste la transformación al sistema

R

$R$ es dado por

{mi}_{1} = (β γ X_{1}^{'}, γ X_{1}^{'})

$E_1= (\beta \gamma x_1', \gamma x_1')$ El componente de tiempo en

R

$R$ es

t_{1} = β γ x_{1}^{'}

$t_1= \beta \gamma x_1'$ . Esta es la coordenada que lees siguiendo la línea marrón . El componente espacial es

x_{1} = γ x_{1}^{'}

$x_1= \gamma x_1'$ . Esto corresponde al cruce de la

x

$x$ -eje con la línea roja .

Para el segundo evento queremos describir el evento en el sistema $R$ primero y luego leer sus coordenadas en el sistema $R'$ . El evento en el sistema no cebado es

{mi}_{2} = (t_{2}, 0) .

$E_2 = (t_2, 0).$ Ya que nos estamos transformando ahora en la otra dirección, lo que significa

R \to R^{'}

$R \to R'$ en lugar de

R^{'} \to R

$R' \to R$ , la transformación de Lorentz tiene signo negativo para la velocidad

β

$\beta$ .

{mi}_{2}^{'} = (γ t_{2}, - β γ t_{2}) = (X_{2}^{'}, t_{2}^{'})

$E_2' = (\gamma t_2, -\beta \gamma t_2) = (x_2', t_2')$ Ahora la lectura se realiza con líneas paralelas al eje.

x^{'}

$x'$ resp.

t^{'}

$t'$ . Esto corresponde a las líneas azules que ha dibujado. Puedes ver directamente el signo negativo de

x_{2}^{'}

$x_2'$ en el cruce de la línea azul izquierda con el

x^{'}

$x'$ -eje.

Las proyecciones verdes

Suponga que tiene un evento en el green $x_1$ . Este no es el $x_1$ del evento $E_1$ . Entonces, digamos que tiene un evento en este punto expresado en el sistema $R$ ,

{mi}_{3} = (X_{3}, 0),

$E_3= (x_3, 0),$ dónde

x_{3}

$x_3$ está en el punto que marcaste como

x_{1}

$x_1$ en tu diagrama. Luego, para leer el componente espacial en el sistema

R^{'}

$R'$ puede usar la proyección verde , paralela a t' . cuidado con eso

x_{3}^{'}

$x_3'$ será igual a la componente espacial de

E_{1}^{'}

$E_1'$ ,

X_{3}^{'} = X_{1}^{'}

$x_3'= x_1'$ pero el componente de tiempo es diferente. Puedes encontrarlo dibujando una línea paralela a la

x^{'}

$x'$ -eje, pasando por el evento. Entonces verá que cruza el eje del tiempo en un componente de tiempo negativo, no en

t^{'} = 0

$t'=0$ .

Bastante completo! ¡Gracias! Acabo de salir de esta clase, y creo que antes estaba un poco más confundido. Así que digamos el verde $x_1$ punto es el final de una estación de tren en R (otro extremo en el origen), y un tren en reposo en R' tiene la misma longitud en R. Proyectar la línea de palabra del final de la estación de tren da como resultado una línea recta hacia arriba del punto mencionado, ese corte es el eje, con una longitud en R' de lo que entiendo $\frac{L}{\gamma}$ .
Sin embargo, dibujando la línea de palabras del tren a partir de su proyección espacial en R, dibujamos la línea paralela a la $ct'$ eje, y hacer que el tren tenga una longitud $\gamma L$ en el marco R'. Entonces, por lo que entiendo, las líneas de palabras de eventos estacionarios en R proyectados en R 'serán paralelos a $ct$ y captará un factor de gamma inversa, mientras que las líneas de palabras de R' proyectadas en R captarán un factor de $\gamma$ . ¿Esto parece correcto?
¡Dos años después, todo esto tiene mucho sentido! ¡Gracias!

usuario139175 · Answer 2

El evento es un punto en el espacio-tiempo; luego puede agregar un marco de referencias. Para encontrar las coordenadas de un evento, debe construir una 'cuadrícula' de coordenadas para un marco de referencia dado. Esta cuadrícula se construye considerando cualquier punto de un eje y dibujando líneas paralelas al otro eje. Esto corresponde físicamente a poner a otros observadores moviéndose con la misma velocidad (esto le da a la cuadrícula paralela a $t$ , es decir constante $x$ ) y luego tomando líneas de tiempo propio constante de estos observadores (cuadrícula paralela a $x$ , es decir constante $t$ ).

Por lo tanto, dado un punto en el espacio-tiempo, si quieres encontrar sus coordenadas en el $R$ marco, simplemente dibuja la cuadrícula cartesiana habitual:

Y para $R'$ dibujas la cuadrícula paralela a sus ejes:

Poniendo las cosas juntas:

Diagramas de Minkowski: cuándo proyectar paralelo a qué ejes

Doryan Miller

Respuestas (2)

kluonk

Lectura de las coordenadas en R

Lectura de las coordenadas en R'

Aplicado al ejemplo

Las proyecciones verdes

Doryan Miller

Doryan Miller

Doryan Miller

usuario139175

jaromrax

Matriz general Transformación de Lorentz

Derivación de transformaciones de Lorentz

Prueba de unicidad de transformación entre marcos relativistas

¿Qué tiene de incorrecto este razonamiento con respecto a la relatividad especial?

¿Qué es un evento en la Relatividad Especial?

Impulso puro de Lorentz; transponer ≠≠\neq inversa?

Sobre la dependencia del tiempo en la transformación entre marcos de referencia en Relatividad especial

Transformación de Lorentz, problema con la derivación

¿Por qué diferenciamos un vector 4 con respecto al tiempo propio para obtener 4 velocidades?

¿Es la Relatividad de la simultaneidad solo un defecto en la percepción? [duplicar]