¿Por qué diferenciamos un vector 4 con respecto al tiempo propio para obtener 4 velocidades?

Question

¿Por qué diferenciamos un vector 4 con respecto al tiempo propio para obtener 4 velocidades?

panqueque_senpai

Las coordenadas de un evento en el espacio-tiempo vienen dadas por el cuadrivector $(ct, \mathbf{r})$ , dónde $\mathbf{r}$ son las coordenadas espaciales del evento. Este vector de 4 se puede ver como un desplazamiento de 4 de una línea de mundo desde el origen definido del marco de referencia en el que estamos en ese momento. $t$ .

Parece sensato que $\frac{d}{dt}(ct,\mathbf{r})$ debería dar 4 velocidades de la línea mundial, pero en cambio todo lo que he leído ha declarado que diferenciamos con respecto al tiempo propio de la línea mundial $\tau$ en cambio, y sin embargo, hasta ahora no he visto ninguna explicación de por qué. Esta respuesta aquí en Stack Exchange simplemente dice que lo hacemos porque mantiene el invariante de Lorentz. Sin embargo, ¿por qué el tiempo propio sería invariante bajo la transformación de Lorentz y otros tiempos no?

Considerar $\mathbf{x^\mu}=(ct,x,y,z)^T$ , que diferencio con respecto al tiempo $t$ Llegar $\mathbf{v}=(c,v_x,v_y,v_z).$ Veamos si esto es invariante de Lorentz:

[\begin{matrix} γ & - β γ & 0 & 0 \\ - β γ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} C \\ {tu}_{X} \\ {tu}_{y} \\ {tu}_{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} C γ - β γ {tu}_{X} \\ - β γ C + γ {tu}_{X} \\ {tu}_{y} \\ {tu}_{z} \end{matrix}] = v^{'}

$\begin{bmatrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\\ u_x\\ u_y\\ u_z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} c\gamma-\beta\gamma u_x\\ -\beta\gamma c+\gamma u_x\\ u_y\\ u_z \end{bmatrix} =\mathbf{v'}$

(C γ - β γ {tu}_{X})^{2} - (- β γ C + γ {tu}_{X})^{2} = C^{2} γ^{2} + β^{2} γ^{2} {tu}_{X}^{2} + β^{2} γ^{2} C^{2} + γ^{2} {tu}_{X}^{2} = C^{2} γ^{2} (1 + β^{2}) - {tu}_{X}^{2} γ^{2} (1 + β^{2}) = C^{2} - {tu}_{X}^{2} ∴ v^{'} \cdot v^{'} = C^{2} - {tu}_{X}^{2} - {tu}_{y}^{2} - {tu}_{z}^{2} = v \cdot v

$(c\gamma-\beta\gamma u_x)^2-(-\beta\gamma c+\gamma u_x)^2=c^2\gamma^2+\beta^2\gamma^2u_x^2+\beta^2\gamma^2c^2+\gamma^2u_x^2 =c^2\gamma^2(1+\beta^2)-u_x^2\gamma^2(1+\beta^2)=c^2-u_x^2 \\ \therefore \mathbf{v'}\cdot\mathbf{v'}=c^2-u_x^2-u_y^2-u_z^2=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}$

Por lo tanto, $\mathbf{v}$ es invariante de Lorentz. ¿Por qué entonces lo rechazamos como el cuadrivector de velocidad?

Respuestas (4)

¿Por qué diferenciamos un vector 4 con respecto al tiempo propio para obtener 4 velocidades?

anomalía quiral · Answer 1

¿Por qué el tiempo propio sería invariante bajo la transformación de Lorentz y otros tiempos no?

Una línea de mundo se especifica dando las cuatro coordenadas $t,x,y,z$ como funciones de algún otro parámetro $\lambda$ . Cada valor de $\lambda$ especifica un punto en la línea de mundo, y las funciones $t(\lambda),x(\lambda),y(\lambda),z(\lambda)$ son las coordenadas de ese punto. el tiempo adecuado $\tau(\lambda)$ en cualquier punto a lo largo de la línea de tiempo se da resolviendo

\begin{matrix} (1) & {\dot{τ}}^{2} = C^{2} {\dot{t}}^{2} - ({\dot{X}}^{2} + {\dot{y}}^{2} + {\dot{z}}^{2}), \end{matrix}

$\dot\tau^2=c^2\dot t^2-(\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2), \tag{1}$ donde un punto en la parte superior denota una derivada con respecto a

λ

$\lambda$ . Por definición, una transformación de Lorentz es una transformación de

(t, x, y, z)

$(t,x,y,z)$ que deja el lado derecho de (1) invariante, por lo que el tiempo adecuado

τ

$\tau$ es invariante bajo transformaciones de Lorentz por construcción. Las coordenadas no lo son.

El cálculo utilizado en el OP para comprobar si $\mathbf{v}=d/dt\,(ct,x,y,z)$ es un vector de 4 no es una verificación válida, porque supone que $\mathbf{v}$ es un 4-vector. Para determinar si o no $\mathbf{v}$ es un cuadrivector, podemos expresar $\mathbf{v}$ en términos de coordenadas, aplique una transformación de Lorentz a las coordenadas y luego vea qué sucede con $\mathbf{v}$ . Cuando hacemos eso, el problema se hace evidente: el primer componente de $\mathbf{v}$ es

\begin{matrix} (2) & \frac{d}{d t} C t = C, \end{matrix}

$\frac{d}{dt} ct = c, \tag{2}$ que es independiente de las coordenadas. Por lo tanto, una transformación de coordenadas (específicamente una transformación de Lorentz) no puede cambiar el primer componente de

v

$\mathbf{v}$ en absoluto, así que

v

$\mathbf{v}$ no puede ser un cuadrivector.

Por otro lado, el momento adecuado $\tau$ es invariante bajo transformaciones de coordenadas (por construcción), incluidas las transformaciones de Lorentz, por lo que la cantidad

\begin{matrix} (3) & \frac{d}{d τ} (C t, X, y, z) \end{matrix}

$\frac{d}{d\tau}(ct,x,y,z) \tag{3}$ se transforma al igual que la cantidad

(c t, x, y, z)

$(ct,x,y,z)$ . Por eso (3) es un cuadrivector.

$t = γ τ \frac{d t}{d τ} = γ \frac{d}{d τ} X^{m} = γ \frac{d}{d t} X^{m}$ $t=\gamma\tau\\\frac{dt}{d\tau}=\gamma\\\frac{d}{d\tau}\mathbf{x^\mu}=\gamma\frac{d}{dt}\mathbf{x^\mu}$ Por lo tanto, todavía estamos diferenciando con respecto a $t$ , entonces el primer componente de $\mathbf{v}$ seguirá sin cambios por la transformación de Lorentz (ya que es una constante independientemente de las coordenadas).
@Pancake_Senpai Sus ecuaciones son correctas, pero su última declaración no lo es. La cantidad $\gamma$ depende de los componentes espaciales de $d\mathbf{x}/dt$ , que a su vez depende de las coordenadas. La cantidad $\gamma$ se ve afectado de una manera no trivial por la transformación de coordenadas. Esto también queda claro en la primera ecuación de tu comentario: $t=\gamma\tau$ . La cantidad $\tau$ es invariante por construcción, y $t$ no lo es (porque es una coordenada), entonces $\gamma$ no puede ser invariante.

ZeroTheHero · Answer 2

El tiempo propio se define usando el intervalo invariante:

d s^{2} = (C d t)^{2} - (d X^{2} + d y^{2} + d z^{2})

$ds^2= (c dt)^2-(dx^2+dy^2+dz^2)$ El tiempo propio es el tiempo indicado por un reloj en reposo en el marco del observador, por lo que

(d x^{2} + d y^{2} + d z^{2}) = 0

$(dx^2+dy^2+dz^2)=0$ , que hace

d s = d τ

$ds=d\tau$ en el marco donde el reloj está en un invariante obvio. dividiendo un

4

$4$ -vector por un escalar invariante produce otro

4

$4$ -vector, garantizando así que el

4

$4$ -velocidad definida como

{tu}^{m} = \frac{d}{d τ} X^{m}

$u^{\mu}=\frac{d}{d\tau}x^{\mu}$ tiene las propiedades de transformación correctas bajo Lorentz.

cuando decimos $d\tau$ es un invariante, lo que estamos diciendo es que un intervalo infinitesimalmente pequeño de tiempo propio es una constante. ¿Qué significa esto realmente y por qué no es un intervalo de tiempo infinitesimalmente pequeño? $dt$ en el marco de $S$ o $dt'$ en $S'$ constante también? Todos son valores constantes que describen un pequeño cambio en el tiempo experimentado en sus respectivos marcos y en ningún otro lugar, ¿verdad?
@Pancake_Senpai no estoy seguro de entender. $dt$ depende del marco de referencia, es decir, diferentes observadores pueden medir diferentes intervalos de tiempo, por lo que no es invariante. Todos los observadores estarían de acuerdo en el valor de $d\tau$ ya que estarían de acuerdo en $ds$ .

md2perpe · Answer 3

Cuando haces esto:

Considerar $\mathbf{x^\mu}=(ct,x,y,z)^T$ , que diferencio con respecto al tiempo $t$ Llegar $\mathbf{v}=(c,v_x,v_y,v_z).$ Veamos si esto es invariante de Lorentz:

$[\begin{matrix} γ & - β γ & 0 & 0 \\ - β γ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} C \\ {tu}_{X} \\ {tu}_{y} \\ {tu}_{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} C γ - β γ {tu}_{X} \\ - β γ C + γ {tu}_{X} \\ {tu}_{y} \\ {tu}_{z} \end{matrix}] = v^{'}$ $\begin{bmatrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\\ u_x\\ u_y\\ u_z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} c\gamma-\beta\gamma u_x\\ -\beta\gamma c+\gamma u_x\\ u_y\\ u_z \end{bmatrix} =\mathbf{v'}$

$(C γ - β γ {tu}_{X})^{2} - (- β γ C + γ {tu}_{X})^{2} = C^{2} γ^{2} + β^{2} γ^{2} {tu}_{X}^{2} + β^{2} γ^{2} C^{2} + γ^{2} {tu}_{X}^{2} = C^{2} γ^{2} (1 + β^{2}) - {tu}_{X}^{2} γ^{2} (1 + β^{2}) = C^{2} - {tu}_{X}^{2} ∴ v^{'} \cdot v^{'} = C^{2} - {tu}_{X}^{2} - {tu}_{y}^{2} - {tu}_{z}^{2} = v \cdot v$ $(c\gamma-\beta\gamma u_x)^2-(-\beta\gamma c+\gamma u_x)^2=c^2\gamma^2+\beta^2\gamma^2u_x^2+\beta^2\gamma^2c^2+\gamma^2u_x^2 =c^2\gamma^2(1+\beta^2)-u_x^2\gamma^2(1+\beta^2)=c^2-u_x^2 \\ \therefore \mathbf{v'}\cdot\mathbf{v'}=c^2-u_x^2-u_y^2-u_z^2=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}$

Por lo tanto, $\mathbf{v}$ es invariante de Lorentz. ¿Por qué entonces lo rechazamos como el cuadrivector de velocidad?

en realidad solo muestra que la transformación de Lorentz conserva el producto pseudoescalar. no demuestras eso $\mathbf{v}$ es invariante de Lorentz.

Supongamos que sigue una partícula $\mathbf{x} = (ct, 0, 0, 0).$ Entonces en este marco obtienes $\frac{d}{dt}\mathbf{x} = (c, 0, 0, 0).$ En el marco imprimado tienes $\mathbf{x}' = (ct', -vt', 0, 0)$ entonces $\frac{d}{dt'}\mathbf{x}' = (c, -v, 0, 0).$ Pero esta no es la transformación de Lorentz de $\mathbf{x}$ cual es $(\gamma c, -\gamma v, 0, 0):$

[\begin{matrix} γ & - β γ & 0 & 0 \\ - β γ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} C \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} γ C \\ - γ β C \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} γ C \\ - γ v \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \gamma c \\ -\gamma\beta c \\ 0\\ 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \gamma c \\ -\gamma v \\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$

Futurólogo · Answer 4

Estás olvidando que has obtenido este vector de velocidad de cuatro dimensiones como un derivado de la línea de mundo con respecto a la coordenada $t$ . Entonces, cuando cambia el sistema de cofinato, se ve obligado a cambiar también el parámetro $t$ estás diferenciando con respecto a. Eso va a causar los problemas que interfieren con la invariancia de Lorentz.

¿Por qué diferenciamos un vector 4 con respecto al tiempo propio para obtener 4 velocidades?

panqueque_senpai

Respuestas (4)

anomalía quiral

panqueque_senpai

anomalía quiral

ZeroTheHero

panqueque_senpai

ZeroTheHero

md2perpe

Futurólogo

Impulso puro de Lorentz; transponer ≠≠\neq inversa?

¿Cómo derivar el intervalo de espacio-tiempo de la transformación de Lorentz?

Un problema para derivar la transformación de Lorentz a partir de la homogeneidad y la isotropía del espacio-tiempo y el principio de relatividad

Explicación intuitiva de la transformación de Lorentz para el tiempo

Matriz general Transformación de Lorentz

¿La transformación de Lorentz solo se aplica a los observadores correspondientes?

Diagramas de Minkowski: cuándo proyectar paralelo a qué ejes

Invariancia del intervalo de espacio-tiempo en la relatividad especial: linealidad

¿Por qué es necesario que diferentes observadores estén de acuerdo en el valor del intervalo de espacio-tiempo ds2ds2ds^2?

Transformación relativista de c2/vc2/vc^2/v