Matriz de transformación de componentes vectoriales en el álgebra lineal de Shilov

vamos a establecer$\mathcal{E} = (e_1, \dots, e_n)$y$\mathcal{F} = (f_1, \dots, f_n)$. Además, denotemos las coordenadas de un vector$v$con respecto a una base$\mathcal{E}$(representado como un vector columna) por$[v]_{\mathcal{E}}$. Entonces

$$v = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}, \, [v]_{\mathcal{E}} = \begin{bmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \xi_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}, \, [v]_{\mathcal{F}} = \begin{bmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \\ \eta_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

En primer lugar, parece que tienes el papel de$S$y$P^{-1}$en tu pregunta invertida como en realidad tienes

$$P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}, \,\,\, S = \left( P^{-1} \right)^T = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$ Las multiplicaciones que realizas más tarde también son incorrectas. Sin embargo, su conclusión real es verdadera: para calcular las coordenadas de$[v]_{\mathcal{F}}$de$[v]_{\mathcal{E}}$, tienes que multiplicar$[v]_{\mathcal{E}}$por$P^{-1}$, no$\left( P^{-1} \right)^T$. Este es el significado de la ecuación.$(12)$Shilov escribe en la página 122 (donde$Q = P^{-1}$).

Sin embargo, Shilov tampoco está del todo equivocado al afirmar que la matriz "que describe la transformación de los componentes$\xi_1,\dots,\xi_n$a los componentes$\eta_1,\dots,\eta_n$es$\left( P^{-1} \right)^T$". ¿Por qué? Si escribe explícitamente$Q [v]_{\mathcal{E}} = [v]_{\mathcal{F}}$(ecuación$(12)$) usted obtiene

$$\eta_1 = q_1^{(1)} \xi_1 + \dots + q^{(n)}_1 \xi_n, \\ \dots, \\ \eta_n = q_n^{(1)} \xi_1 + \dots + q^{(n)}_n \xi_n.$$

Si piensas en los componentes$\xi_1, \dots, \xi_n$y$\eta_1, \dots, \eta_n$como dos "bases" y compara esta ecuación con la ecuación que escribiste al comienzo de la pregunta, verás que la "matriz de la transformación de la base$\{ \xi \}$a la base$\{ \eta \}$" es en realidad$Q^T$y no$Q$. Para hacer esta declaración precisa, uno necesita discutir espacios duales y luego los "componentes" de un vector con respecto a una base se convierten en la base dual de la base original y la matriz.$\left( P^{-1} \right)^T$se convierte en la matriz de cambio de base entre las bases duales.

Dejar$B_1 = \{e_1, \dots, e_n\}$,$B_2 = \{f_1, \dots, f_n\}$. Entonces$P = M_{B_2}^{B_1}(I)$, significado$P$representa el mapa de identidad en las bases$B_2$,$B_1$. Parece que$S = M_{B_1}^{B_2}(I)$. Así que de hecho$S = P^{-1}$por la identidad general$M_{B_2}^{B_3}(T)M_{B_1}^{B_2}(S) = M_{B_1}^{B_3}(TS)$, esencialmente por definición de multiplicación de matrices.

Editar: dejar$V$y$W$ser espacios vectoriales de dimensión finita sobre el campo$F$y$T \colon V \to W$Sea un mapa lineal. Suponer$B_1 = \{v_1, \dots, v_n\}$es una base de$V$y$B_2 = \{w_1, \dots, w_m\}$es una base de$W$. Entonces$A = M_{B_1}^{B_2}(T)$es un$m \times n$matriz con entradas en$F$dónde$Tv_j = \sum_{i = 1}^{m}a_{ij}w_j$. Eso es el$j$la columna de$A$son las coordenadas de$Tv_j$en la base$\{w_1, \dots, w_m\}$.