Matriz semidefinida positiva

Question

Matriz semidefinida positiva

matrices
Matemáticas
espacios vectoriales
álgebra lineal

usuario506901

Supongamos una matriz simétrica cuadrada $V$ es dado

$V=\left(\begin{array}{ccccc} \sum w_{1s} & & & & \\ & \ddots & & -w_{ij} \\ & & \ddots & & \\ & -w_{ij} & & \ddots & \\ & & & & \sum w_{ns} \end{array}\right) \in\mathbb{R}^{n\times n},$

con valores $w_{ij}> 0$ , por lo tanto, con solo entradas diagonales positivas. Dado que la matriz anterior es diagonalmente dominante, es semidefinida positiva. Sin embargo, me pregunto si se puede demostrar que

$a\cdot diag(V)-V~~~~~a\in[1, 2]$

es también positivo semidefinido. ( $diag(V)$ denota una matriz diagonal cuyas entradas son las de $V$ , por lo tanto todo positivo) En caso de $a=2$ , la resultante

$2\cdot diag(V)-V$

también es diagonalmente dominante (positivo semidefinido), pero es posible probar para $a\in[1,2]$ ? .............................................

Tenga en cuenta que la prueba anterior facilitaría mi problema real; es posible probar

$tr[(X-Y)^T[a\cdot diag(V)-V](X-Y)]\geq 0$ ,

dónde $tr(\cdot)$ denota traza de matriz, para $X, Y\in\mathbb{R}^{n\times 2}$ y $a\in[1,2]$ ?

También tenga en cuenta que

$tr(Y^TVY)\geq tr(X^TVX)$ y $tr(Y^Tdiag(V)Y)\geq tr(X^Tdiag(V)X)$ .

(si eso facilita la búsqueda, asuma $a=1$ )

.................................................... ...

Dado que la semidefinición positiva no podía garantizarse en general para $a<2$ , el problema se convierte en: ¿para qué restricciones sobre a se mantiene la semidefinición positiva de a⋅diag(V)−V?

Tenga en cuenta el comentario de Davide Giraudo y su reclamo por el caso. $w_{ij}=1$ , para todos $i,j$ . ¿Se podría derivar algo similar para general $w_{ij}$ ≥0?

david giraudo

Si

n = 2

$n=2$ y

a = 1

$a=1$ entonces

diag (V) - V = (\begin{matrix} 0 & w_{1, 2} \\ w_{1, 2} & 0 \end{matrix})

$\operatorname{diag}(V)-V=\pmatrix{0&w_{1,2}\\\ w_{1,2}&0}$ que no es definida positiva ya que

{(\begin{matrix} 1, - 1 \end{matrix})}^{t} (\begin{matrix} 0 & w_{1, 2} \\ w_{1, 2} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1, - 1 \end{matrix}) = {(\begin{matrix} 1, - 1 \end{matrix})}^{t} (\begin{matrix} - w_{1, 2} \\ w_{1, 2} \end{matrix}) = - 2 w_{1, 2} < 0

$\pmatrix{1,-1}^t\pmatrix{0&w_{1,2}\\\ w_{1,2}&0}\pmatrix{1,-1}=\pmatrix{1,-1}^t\pmatrix{-w_{1,2}\\\ w_{1,2}}=-2w_{1,2}<0$ .

david giraudo

si tomamos

w_{i, j} = 1

$w_{i,j}=1$ para todos

i

$i$ y

j

$j$ entonces

a diag (V) - V

$a\operatorname{diag}(V)-V$ tiene los valores propios

(a - 1) + n - 1

$(a-1)+n-1$ y

(a - 1) n - 1

$(a-1)n-1$ así que necesitábamos

a - 1 \geq \frac{1}{n}

$a-1\geq \frac 1n$ .

usuario506901

Supongo que lo primero implica: en caso de que el vector

x

$x$ considerado para la semidefinición positiva de una matriz

A

$A$ ,

x^{T} A x

$x^TAx$ , tiene los elementos del mismo signo, entonces sigue la semidefinición. No estoy seguro de poder traducir la observación del segundo comentario a general.

w_{i j} > 0

$w_{ij}>0$ .

cardenal

Tal vez pueda contarnos más sobre lo que realmente está tratando de resolver.

V

$V$ es el gráfico laplaciano de un gráfico no dirigido sin bucles propios, por ejemplo.

usuario506901

Tenga en cuenta la edición de la pregunta. Bueno, obviamente, si resolví lo primero, lo segundo está resuelto.

usuario506901

@DavideGiraudo: ¿Podría proporcionar una prueba de los valores propios de la matriz?

a d i a g (V) - V

$a diag(V)-V$ en caso de

w_{i j} = 1

$w_{ij}=1$ ?

Respuestas (2)

Matriz semidefinida positiva

Si $n=2$ y $a=1$ entonces $\operatorname{diag}(V)-V=\pmatrix{0&w_{1,2}\\\ w_{1,2}&0}$ que no es definida positiva ya que $\pmatrix{1,-1}^t\pmatrix{0&w_{1,2}\\\ w_{1,2}&0}\pmatrix{1,-1}=\pmatrix{1,-1}^t\pmatrix{-w_{1,2}\\\ w_{1,2}}=-2w_{1,2}<0$ .
si tomamos $w_{i,j}=1$ para todos $i$ y $j$ entonces $a\operatorname{diag}(V)-V$ tiene los valores propios $(a-1)+n-1$ y $(a-1)n-1$ así que necesitábamos $a-1\geq \frac 1n$ .
Supongo que lo primero implica: en caso de que el vector $x$ considerado para la semidefinición positiva de una matriz $A$ , $x^TAx$ , tiene los elementos del mismo signo, entonces sigue la semidefinición. No estoy seguro de poder traducir la observación del segundo comentario a general. $w_{ij}>0$ .
Tal vez pueda contarnos más sobre lo que realmente está tratando de resolver. $V$ es el gráfico laplaciano de un gráfico no dirigido sin bucles propios, por ejemplo.
Tenga en cuenta la edición de la pregunta. Bueno, obviamente, si resolví lo primero, lo segundo está resuelto.
@DavideGiraudo: ¿Podría proporcionar una prueba de los valores propios de la matriz? $a diag(V)-V$ en caso de $w_{ij}=1$ ?

sunita · Answer 1

sunita

Reclamación: para una matriz real simétrica $A$ , entonces $tr(X^TAX)\ge 0$ para todos $X$ si y solo si $A$ es semidefinido positivo.

usuario506901

Davide Giraudo ya mostró que la semidefinición positiva no se cumple en general; pero ideó condiciones interesantes para

w_{i j} = 1

$w_{ij}=1$ para todos

i, j

$i,j$ . si configuras

a = 1.5

$a=1.5$ para

n > 2

$n>2$ , y

w_{i j} = 1

$w_{ij}=1$ , entonces la matriz resultante

1.5 d i a g (V) - V

$1.5 diag(V)-V$ es semidefinido positivo. Ahora bien, la pregunta es: ¿basta probar que

a \cdot d i a g (V) - V

$a\cdot diag(V)-V$ no es

d i a g o n a l l y

$diagonally$

d o m i n a n t

$dominant$ para refutar la condición de mi última edición.

usuario506901

Dado que la semidefinición positiva no podía garantizarse en general para

a < 2

$a<2$ , el problema se dirige a: para qué restricciones en

a

$a$ ¿La semidefinición positiva de

a \cdot d i a g (V) - V

$a\cdot diag(V)-V$ ¿todavía mantienen? Tenga en cuenta el comentario de Davide Giraudo desde arriba y su reclamo por el caso.

w_{i j} = 1

$w_{ij}=1$ . ¿Se podría derivar algo similar para general

w_{i j} \geq 0

$w_{ij}\geq 0$ ?

david giraudo · Answer 2

En el caso $w_{ij}=1$ tenemos $V=\pmatrix{n&-1&-1&\cdots &-1 \\\ -1&n&-1&\ldots &-1 \\\ \vdots&\vdots&\ddots& &-1\\\ -1&-1&-1&\ldots&n}$ y

{METRO}_{a} := a diagnóstico (V) - V = (\begin{matrix} norte (a - 1) & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & norte (a - 1) & 1 & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & norte (a - 1) \end{matrix}) .

$M_a:=a\operatorname{diag}(V)-V=\pmatrix{n(a-1)&1&1&\cdots &1 \\\ 1&n(a-1)&1&\ldots &1 \\\ \vdots&\vdots&\ddots& &1\\\ 1&1&1&\ldots&n(a-1)}.$ Podemos calcular el determinante

det (M_{a} - X I_{n})

$\det(M_a-XI_n)$ sumando a la primera línea todas las demás. Obtenemos

det ({METRO}_{A} - X I_{norte}) = (norte (a - 1) - (norte - 1) X) (norte (a - 1) - 1 - X)^{norte - 1},

$\det(M_A-XI_N)=(n(a-1)-(n-1)X)(n(a-1)-1-X)^{n-1},$ y si queremos

M_{a}

$M_a$ positivo semidefinido deberíamos tener

n (a - 1) - 1 \geq 0

$n(a-1)-1\geq 0$ entonces

a - 1 \geq \frac{1}{n}

$a-1\geq\frac 1n$ .

Matriz semidefinida positiva

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david giraudo

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cardenal

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Respuestas (2)

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david giraudo

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