¿El conjunto SSS de vectores es linealmente independiente?

S = { tu , v , w } es un subconjunto de R 3 , donde se sabe que hay un invertible 3 × 3 matriz D tal que tu D = ( 1 , 2 , 3 ) , v D = ( 4 , 5 , 6 ) , y w D = ( 5 , 7 , 9 ) .

es el conjunto S de vectores linealmente independientes?

A continuación se muestra lo que hice:

w D = ( 5 , 7 , 9 ) = ( 1 , 2 , 3 ) + ( 4 , 5 , 6 ) = tu D + v D
Desde w B es un vector redundante, w es un vector redundante también. Por lo tanto, conjunto de vectores que contienen w es linealmente dependiente.

¿Hay algo malo con mi explicación?

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Escriba la definición de independencia lineal para S . con que sirve la multiplicacion D hacerle?
( 1 , 2 , 3 ) + ( 4 , 5 , 6 ) = ( 5 , 7 , 9 ) ⇒ ....
Gracias por mencionarlo. He hecho los cambios necesarios, espero que las cosas estén mucho más claras ahora.
Has demostrado que el conjunto { tu D , v D , w D } es linealmente dependiente, pero ¿cómo se concluye de esto que { tu , v , w } ¿es demasiado?
@amd Estoy pensando en tratar la matriz D como una forma de constante escalar. En ese caso, tu D , v D , w D sería simplemente la combinación lineal de tu , v , w .

Respuestas (2)

Has demostrado que el conjunto { tu D , v D , w D } es linealmente dependiente, pero no han podido justificar por qué esto implica que { tu , v , w } también es linealmente dependiente. Como contraejemplo, supongamos que tu , v y w son los vectores base estándar de R 3 y

D = [ 1 2 3 4 5 6 5 7 9 ] .
Entonces tu D = ( 1 , 2 , 3 ) , v D = ( 4 , 5 , 6 ) y w D = ( 5 , 7 , 9 ) , pero tu , v y w son linealmente independientes.

la clave es que D es invertible Por lo tanto, puede decir que

0 = 0 D − 1 = ( tu D + v D − w D ) D − 1 = tu D D − 1 + v D D − 1 − w D D − 1 = tu + v − w .

un no singular norte × norte matriz es una matriz de cambio de base (de la base que consta de las columnas a la base estándar). Por lo tanto, siempre lleva una base a una base. Dado que esto no sucedió cuando se aplicó a { tu , v , w } (como ha demostrado), no es una base ...

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