Cuatro divergencias y transformación de Legendre

Como caso de estudio, considere el siguiente Lagrangiano para un campo de Weyl zurdo$\chi \in \mathbb{C}^{2}$:

$$\mathcal{L} = \chi^{\dagger} \mathrm{i} \overline{\sigma}^{\rho} \partial_{\rho} \chi$$

dónde$\overline{\sigma}^{\rho} \equiv (1_{2},-\sigma^{i})$, con$\sigma^{i}$las matrices estándar de Pauli. El hamiltoniano (densidad) correspondiente se obtiene, como es habitual, mediante una transformación de Legendre [con$a$corriendo, por supuesto, sobre los dos componentes de$\chi$]:

$$\mathcal{H} = \mathcal{L}\frac{\overleftarrow{\partial }}{\partial \dot{\chi^{a}}}\dot{\chi^{a}}-\mathcal{L} = \mathrm{i} \chi_{a} ^{\dagger }\dot{\chi}^{a}-\mathcal{L},$$

produciendo correctamente un hamiltoniano que no contiene derivadas temporales:$\mathcal{H} = -\chi^{\dagger} \mathrm{i} \overline{\sigma}^{i} \partial_{i} \chi.$Ahora, considere el Lagrangiano anterior aumentado por la divergencia cuádruple$-\frac{\mathrm{i}}{2}\partial _{\rho }\left( \chi ^{\dagger } \overline{\sigma }^{\rho }\chi \right)$traerlo en la siguiente forma explícitamente hermítica:

$$\mathcal{L}'=\frac{\mathrm{i}}{2}\left[ \chi ^{\dagger }\overline{\sigma } ^{\rho }\partial _{\rho }\chi -\left( \partial _{\rho }\chi \right) ^{\dagger }\overline{\sigma }^{\rho }\chi \right];$$

y considere el siguiente ansatz para el hamiltoniano asociado:

$$\mathcal{H}' = \mathcal{L}'\frac{\overleftarrow{\partial }}{\partial \dot{\chi }^{a}}\dot{\chi}^{a}+\mathcal{L}'\frac{\overleftarrow{\partial }}{\partial \left( \dot{\chi}^{a}\right) ^{\ast }}\left( \dot{\chi}^{a}\right) ^{\ast }- \mathcal{L}' = \frac{\mathrm{i}}{2}\chi ^{\dagger }\dot{\chi}^{a}-\frac{\mathrm{i}}{2} \chi _{a}\left( \dot{\chi}^{a}\right) ^{\ast }-\mathcal{L}'.$$

Tenga en cuenta que el signo menos del segundo término proviene de pasar la derivada por la derecha, usando la anticonmutatividad. A diferencia del caso anterior, aquí$\mathcal{H}'$no contendrá derivadas temporales sólo si para el segundo término la relación$\frac{\mathrm{i}}{2} \chi _{a}\left( \dot{\chi}^{a}\right) ^{\ast } = -\frac{\mathrm{i}}{2} \left( \dot{\chi}^{a}\right) ^{\ast } \chi _{a}$Está aplicado.

En el nivel clásico donde los componentes de$\chi$son valorados por Grassmann,$\chi$siendo un campo spinor, tal relación es, por supuesto, completamente válida, pero me sentiría más cómodo si las derivadas temporales se eliminaran fácilmente. ¿Es eso posible? Y si es afirmativo, ¿cómo debería modificarse el ansatz anterior para la transformación de Legrendre?