Invariancia de la acción fermiónica bajo transformaciones de Lorentz

@Peter Anderson señaló en el comentario que olvidaste la transformación de la derivada, que en forma infinitesimal debería decir

$$\delta \partial_n = - g^{lm} \Lambda_{mn}\partial_l$$ que proviene de la transformación de Lorentz $$\partial_n \to g^{lm}(L^{-1})_{mn} \partial_l$$ (la métrica está ahí para mantener los índices de acuerdo con la elección de OP) que se expande a $$g^{lm}(L^{-1})_{mn} = \delta^l_n - g^{lm} \Lambda_{mn} + ...$$ donde estoy infiriendo, de sus otras leyes de transformación, que está aplicando transformaciones activas de Lorentz, es decir, bajo la perspectiva simbólica $$x \to L x$$ con un campo transformándose como $$\phi(x) \to M \phi(L^{-1} x)$$ ser $M$una representación del grupo de Lorentz.

Si usa esto, obtendrá un nuevo término en la variación de su Lagrangiano

$$\delta \mathcal{L} -\frac{1}{2} g_{ab} \Lambda_{mn} \overline \psi^a \Gamma^n g^{lm}\partial_l \psi^b$$ y este nuevo término con el último término de su variación se mantiene $$-\frac{1}{2} g_{ab} \Lambda_{mn}\left[ \overline \psi^a \Gamma^m \partial^n \psi^b+\overline \psi^a \Gamma^n \partial^m \psi^b \right]$$ y entonces tienes una contracción entre un tensor antisimétrico $\Lambda_{mn}$con una cantidad simetrizada $\Gamma^m \partial^n+\Gamma^n \partial^m$y por lo tanto estos dos términos se desvanecen. Entonces te quedan los dos primeros, que ya dijiste que puedes reescribirlos en una forma derivada total.