Con un Lagrangiano como:L =∂mϕ†∂mϕ − V( ϕ ) =ϕ†˚ϕ˚+∂iϕ†∂iϕ − V( ϕ )
, el hamiltoniano es:
H =∂L∂ϕ˚ϕ˚+ϕ†˚∂L∂ϕ†˚− L
lo que da:
H=ϕ†˚ϕ˚+ϕ†˚ϕ˚− (ϕ†˚ϕ˚+∂iϕ†∂iϕ − V( ϕ ) )=ϕ†˚ϕ˚−∂iϕ†∂iϕ + V( ϕ )=ϕ†˚ϕ˚+∇⃗ ϕ†.∇⃗ ϕ + V( ϕ )= |ϕ˚|2+ |∇⃗ ϕ|2+ V( ϕ )
Notamos que los primeros 2 términos del hamiltoniano están definidos positivamente y desaparecen cuando
ϕ
es un campo constante (no dependiente del espacio-tiempo). Por lo tanto, el mínimo de
H
se alcanza para un campo constante
ϕ0
que minimiza los últimos 2 términos, es decir, el potencial
V(ϕ0)
.
qmecanico