Masa renormalizada

Al menos en un modelo con una sola especie, la masa está (inversamente) relacionada con la longitud de la correlación, por lo que una forma de desarrollar la intuición sobre la renormalización de la masa es pensar en términos de cómo el término de interacción afecta la longitud de la correlación. Esto está destinado a abordar la pregunta "¿por qué necesita volver a normalizar la masa" de una manera relativamente sencilla y matemáticamente clara.

Para ser específico, considere la$\phi^4$modelo. Después de reemplazar continuo$D$-espacio dimensional con una red finita para que todo sea matemáticamente inequívoco, el hamiltoniano puede escribirse

$$H = \frac{b^D}{2}\sum_\mathbf{x}\left(\dot\phi^2(\mathbf{x})+\sum_\mathbf{b}\left(\frac{\phi(\mathbf{x}+\mathbf{b})-\phi(\mathbf{x})}{b}\right)^2+\mu\phi^2(\mathbf{x})+\frac{\lambda}{12}\phi^4(\mathbf{x})\right)$$ dónde$\mathbf{x}$es un sitio de celosía,$\mathbf{b}$es un vector de base reticular, y$b$es el espaciado de la red. la suma termina$\mathbf{x}$es una versión reticular de una integral sobre todo el espacio, y el término con la suma sobre$\textbf{b}$es una versión reticular del término gradiente$(\nabla\phi(\mathbf{x}))^2$. El punto superior en$\dot\phi$denota la derivada temporal de$\phi$(en el cuadro de Heisenberg), como de costumbre.

Ahora, aquí está la intuición. Primero supongamos que$\lambda=0$. En este caso, sabemos que la masa física$m$está relacionado con el coeficiente$\mu$por$\mu=m^2$. El término cinético, el único término que conecta diferentes sitios de red, es responsable del hecho de que la función de correlación

$$\langle 0|\phi(\mathbf{x})\phi(\mathbf{y})|0\rangle - \langle 0|\phi(\mathbf{x})|0\rangle\,\langle 0|\phi(\mathbf{y})|0\rangle$$ es distinto de cero para$\mathbf{x}\neq\mathbf{y}$. Después de volver a escalar el campo y el parámetro de tiempo para poner el$\lambda=0$hamiltoniano en la forma $$H = \frac{b^D}{2}\sum_\mathbf{x}\left(\dot\phi^2(\mathbf{x})+\sum_\mathbf{b}\left(\frac{\phi(\mathbf{x}+\mathbf{b})-\phi(\mathbf{x})}{mb}\right)^2+\phi^2(\mathbf{x})\right),$$ vemos que la longitud de correlación está necesariamente determinada por la combinación$mb$, por lo que la longitud de correlación debe ser$1/m$en unidades del espaciamiento de la red$b$.

Ahora supongamos que$\lambda>0$y$\mu=0$. Aunque la función de correlación de 2 puntos ya no se puede calcular de forma cerrada, el mismo argumento de escala indica que la longitud de la correlación está determinada por la combinación$b\sqrt{\lambda}$. La relación entre la correlación y la masa física (que está relacionada con la identificación de la masa física con el polo en el propagador) nos dice que la masa física debe ser distinta de cero en este caso , aunque$\mu=0$. En otras palabras, cuando$\mu=0$, la masa física es inducida completamente por el término de acoplamiento.

A ver que pasa cuando$\mu$y$\lambda$ambos son distintos de cero, elija cualquier valor$\lambda\geq 0$y considerar cómo$\mu$debe ajustarse para que la longitud de correlación sea infinita (lo que corresponde a una masa física cero). Si$\lambda=0$, entonces sabemos que la elección$\mu=0$hace que la longitud de la correlación sea infinita. Acabamos de ver que si$\lambda>0$, entonces la longitud de la correlación es finita si$\mu=0$, por lo que para hacer que la longitud de la correlación sea infinita nuevamente, debemos elegir$\mu<0$para compensar el efecto del término de interacción. Alquiler$\mu_c(\lambda)$denote este valor especial (negativo) de$\mu$que hace que la longitud de la correlación sea infinita, esto dice que si$\lambda>0$, luego eligiendo$\mu>\mu_c(\lambda)$dará una masa física distinta de cero (es decir, una longitud de correlación finita), incluso si$\mu$sigue siendo negativo!

Por cierto, elegir$\mu<\mu_c(\lambda)$da ruptura de simetría espontánea (de la discreta$\phi\rightarrow -\phi$simetría).

Todo este cuadro se confirma mediante cálculos numéricos, algunos de los cuales se pueden encontrar en Luscher y Weisz (1987), "Leyes de escala y límites de trivialidad en la red$\phi^4$teoría (I). Modelo de un componente en la fase simétrica", Nuclear Physics B 290 : 25-60, y algunos en Hasenbusch (1999), "Un estudio de Monte Carlo de correcciones de escala de orden líder de$\phi^4$teoría sobre una red tridimensional", https://arxiv.org/abs/hep-lat/9902026 .

Está confundido porque cree que la contrapartida de la carga renormalizada es la masa renormalizada. ¡Está mal (al menos, no es exacto)! En realidad, la contrapartida de la carga renormalizada$e$es autoenergía$\Sigma$. Mientras que la carga renormalizada$e(p^2)$es dependiente del momento, también lo es la energía propia$\Sigma(\not{p})$.

(Algunas aclaraciones: más precisamente, deberíamos estar hablando de la dependencia del momento del acoplamiento renormalizado/vértice 1PI en lugar de la carga renormalizada. Estamos usando la terminología de OP aquí).

Veamos el propagador de fermiones.

$$G = \frac{i}{\not{p}-m_0 - \Sigma(\not{p})+i\epsilon}$$ donde la energía propia se puede expresar generalmente como $$\Sigma(\not{p}) = a(p^2) + b(p^2)\not{p}.$$ Para simplificar nuestra discusión, supongamos que (lo que significa que no hay renormalización de la función de onda) $$b(p^2) = 0.$$ Si expandimos aún más la energía propia como $$\Sigma(p^2) = a(p^2) = m_0' + c_1p^2 + c_2p^4 + ...$$ Resulta que$m_0'$es divergente, mientras que$c_1$y$c_2$son finitos. Todo el asunto de la renormalización masiva depende de la suposición de que $$m_r = m_0 + m_0'$$ es finito (lo que significa que la masa desnuda$m_0$tiene que ser divergente), de modo que el propagador de fermiones $$G = \frac{i}{\not{p}-m_0 - \Sigma(p^2)+i\epsilon}$$ $$= \frac{i}{\not{p}- (m_r + c_1p^2 + c_2p^4 + ...) + i\epsilon}$$ es finito y bien definido.

la masa fisica$m_p$está simplemente determinado por el polo del propagador de fermiones

$$m_p^2 = (m_0 + \Sigma(m_p^2))^2 = (m_r + c_1m_p^2 + c_2m_p^4 + ...)^2.$$

Tenga en cuenta que$m_p$(o$m_r$) puede determinarse experimentalmente, mientras que$m_0$y$m_0'$son divergentes y desconocidos.

el correr de$\Sigma(\not{p})$está determinada por los parámetros finitos$c_1$y$c_2$. La belleza de QFT es que los números exactos y finitos de$c_1$y$c_2$puede calcularse teóricamente (a diferencia de los números incalculables como la masa física$m_p$). Estos parámetros calculables son donde realmente podemos verificar o falsificar un modelo : en el caso de la carga renormalizada$e(p^2)$, simplemente conecte los parámetros calculados teóricamente (contrapartes de$c_1$y$c_2$) en$e(p^2)$y compáralo con el comportamiento de carrera de determinados experimentalmente$e(p^2)$.

Por otro lado, los parámetros renormalizados como$m_p$(o$m_r$), aunque finitos, NO son calculables. Y simplemente aceptamos lo que nos diga el resultado del experimento. NO se pueden utilizar para verificar o falsificar un modelo. Dicho esto, hay un punto sutil: si creemos que hay algo de física adicional en el nivel de energía más allá del modelo en cuestión, estamos esperando que$m_p$(por ejemplo, masa del bosón de Higgs$m_H$) es comparable a dicho nivel de energía (la escala de energía más allá del modelo estándar$\Lambda_{BSM}$). Si no, tenemos un problema de jerarquía. Ver más explicaciones aquí .

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Una nota al margen:

Sabemos que la masa física$m_p$corresponde al polo del propagador de fermiones renormalizado. Pero, ¿sabe que también hay un polo en la carga/acoplamiento?$e(p^2)$? Este llamado polo Landau en la carga/acoplamiento QED$e(p^2)$Fue notado por primera vez por Landau. ¿Está el polo Landau en$p \sim \Lambda_{Landau}$algo físico como la masa polar física? No, no lo es, es un polo espurio, lo que indica la falla de la QFT perturbativa más allá de la escala de alta energía.$p > \Lambda_{Landau}$en el caso de QED o la falla de QFT perturbativo por debajo de la escala de baja energía$p < \Lambda_{QCD}$en el caso de QCD.