Comprender la renormalizabilidad y la masa desnuda

Como dije en el comentario, mientras no golpees singularidades para$k^2=0$, la función$I(k^2)$es completamente regular y se puede realizar la expansión. Además, puede tomar la integral unidimensional (puede ser una simplificación de un caso más general que puede encontrar al calcular funciones de Green de n puntos)

$$I(k) = \int_0^{+\infty} d q \frac{q^4}{(q+k)^2}$$

dónde$k$es el momento externo. Esto tiene un grado de divergencia.$D=2$pero se puede derivar tres veces con respecto a los momentos externos$k$y obtienes I'''(k) que es completamente convergente

$$I'''(k) =\int_0^{+\infty} d q -6\frac{6q^2}{(k+q)^4} = -\frac{2}{k}$$

Luego, puede volver a integrar (¡¡integrar wrt a los momentos externos!!)

$$I''(k) = -2\log(k) + A$$

donde A (y en lo sucesivo todas las letras mayúsculas) es una constante divergente. Entonces,

$$I'(k) = +2k -2k \log(k) + A k + B\rightarrow I(k) = Bk + \frac{1}{2}\left( 3+A\right)k^2 - k^2\log(k)$$

Con respecto a su segunda pregunta, puede expresar el n-punto Verde$G^{(n)}(p)$función en términos de la amputada$G^{(n)}_{amp}$

$$G^{(n)}(p_1,...,p_n) = \Pi_{i=1}^n \left[G^{(2)}(p_i)\right] G^{(n)}_{amp}(p_1,...,p_n)$$

La matriz S no es más que la función de Green amputada en la que agregas la polarización de la función de onda y luego pones todo en la carcasa. En el caso de la teoría escalar, la polarización de la función de onda es trivial (es decir, es 1). Para$n=2$miras el propagador completo $G^{(2)}(p)$

$$G^{(2)}(p) =G^{(2)}(p)G^{(2)}(p) G^{(2)}_{amp}(p)$$

y ves que

$$G^{(2)}(p) = \frac{1}{G^{(2)}_{amp}(p)} \,,\qquad \qquad (1)$$

(EDITADO) En la teoría de la perturbación, puede establecer$G^{(2)}_{amp}(p) = k^2 - m^2 + a +b+k^2$. supongo que el termino$a +b+k^2$incluir alguna potencia de la constante de acoplamiento perturbativo. Puede evitar correcciones de orden superior porque ya se tienen en cuenta en la ecuación. (1).

Darse cuenta de$G^{(2)}_{amp}(p)$tiene ese valor porque estás usando las reglas de Feynman del término cinético visto como un vértice y el resultado de la integral de bucle. Si lo desea, la integral de bucle le proporciona una contribución a la acción efectiva proporcional (aproximadamente) a$(a+b)\phi^2 - (\partial\phi)^2$. Entonces, el término$a+b+k^2$es la regla de feynman asociada a este vértice y entra en$G^{(2)}_{amp}(p)$.

Note que no estoy haciendo la suma como en la otra respuesta. Esto se debe a que debo hacer la misma suma pero con$1/(k^2-m^2)\rightarrow G^{(2)}(p)$dónde$G^{(2)}(p)$es el propagador cuántico completo (el que incluye correcciones cuánticas). Si trabajas en teoría de perturbaciones, esa suma es equivalente a lo que hice aquí.

1. Porque$I$es un escalar invariante de Lorentz y depende solo del cuadrivector$k$. Simplemente no hay otros escalares que$k^2$¡disponible! Lo siento, me equivoqué en tu pregunta. Parece que fue respondido en los comentarios. De todos modos, solo para volver a decirlo aquí: es una fórmula de serie de Taylor normal que se puede aplicar a$I$y permite la expansión de los poderes de$k^2$.
2. Parece que el autor omite algunos detalles en aras de la simplicidad. De hecho, lo que sucede aquí es que calculó un subdiagrama 1PI (Irreducible de una partícula). Por lo general, después, a los estudiantes se les presenta esta fórmula:

$$G_\text{full} = \frac{1}{k^2 - m^2} + \frac{1}{k^2 - m^2} I \frac{1}{k^2 - m^2} + \frac{1}{k^2 - m^2} I \frac{1}{k^2 - m^2} I \frac{1}{k^2 - m^2} + \dots$$

La idea es que el propagador completo no es solo una suma del propagador desnudo y el diagrama 1PI, sino una suma infinita de combinaciones de ellos (1PI está "amputado" y no tiene propagadores entrantes/salientes). Con la ayuda de la fórmula de progresión geométrica, esto se convierte en:

$$G_\text{full} = \frac{1}{k^2 - m^2 + I}$$

Lo que desplaza el polo a la nueva ubicación.