Cómo encontrar el rango de la matriz ∂2L∂Xμ˙∂Xν˙∂2L∂Xμ˙∂Xν˙\frac{\partial ^2\mathcal{L}}{\partial \dot{X^\mu} \partial \dot{X^\nu} } para el lagrangiano de cadenas Nambu-Goto?

I) En esta respuesta, consideraremos la cadena estándar Nambu-Goto (NG) y mostraremos que Hessian tiene co-rango 2. La métrica del espacio objetivo (TS)$G_{\mu\nu}(X)$tiene convención de signos$(-,+,\ldots,+)$, y$c=1=\hbar$. La densidad lagrangiana NG es

$$\begin{align}{\cal L}_{NG} ~:=~&-T_0\sqrt{{\cal L}_{(1)}}, \cr {\cal L}_{(1)}~:=~&-\det\left(\partial_{\alpha} X\cdot \partial_{\beta} X\right)_{\alpha\beta}\cr ~=~&-\det\begin{pmatrix}a &c \cr c & d \end{pmatrix}\cr ~=~& c^2-a d\geq 0,\cr a~:=~&\dot{X}^2~\leq~0,\cr c~:=~&\dot{X}\cdot X^{\prime} ,\cr d~:=~&(X^{\prime})^2~>~0.\end{align}\tag{1}$$ la desigualdad${\cal L}_{(1)}\geq 0$se explica en, por ejemplo, Ref. 1. A continuación, solo consideraremos los puntos regulares de la hoja mundial donde $${\cal L}_{(1)}~>~0\tag{2}$$ es estrictamente positivo.

II) Los momentos son

$$\begin{align} P_{(1)\mu} ~:=~&\frac{\partial {\cal L}_{(1)}}{\partial \dot{X}^{\mu}}\cr ~=~& 2c X^{\prime}_{\mu} -2 d \dot{X}_{\mu} , \cr P_{(1)}\cdot \dot{X}~=~&2{\cal L}_{(1)},\end{align}\tag{3}$$ $$P_{\mu} ~:=~\frac{\partial {\cal L}_{NG}}{\partial \dot{X}^{\mu}} ~=~ -\frac{T_0}{2{\cal L}_{(1)}^{\frac{1}{2}}} P_{(1)\mu}. \tag{4}$$

III) La densidad hamiltoniana original se desvanece de forma idéntica

$${\cal H}_0~:=~ P\cdot \dot{X} - {\cal L}_{NG}~=~0 , \tag{5}$$

como cabría esperar de una teoría invariante de reparametrización. Esto significa que, independientemente de las restricciones primarias que haya, no habrá restricciones secundarias. Encontramos dos restricciones principales

$$P_{(1)}\cdot X^{\prime} ~=~0 \quad\Rightarrow \quad \chi_0~:=~P\cdot X^{\prime} ~=~0,\tag{6}$$

$$P_{(1)}^2~=~ -4d {\cal L}_{(1)}\quad\Rightarrow \quad \chi_1~:=~\frac{P^2}{2T_0}+\frac{T_0}{2}(X^{\prime})^2~=~0.\tag{7}$$

Las dos restricciones principales (6) y (7) forman un álgebra de Poisson de primera clase

$$\begin{align}\{\chi_0(\sigma),\chi_0(\sigma^{\prime})\}_{PB} ~=~&\left[ \chi_0(\sigma)+\chi_0(\sigma^{\prime})\right] \delta^{\prime}(\sigma-\sigma^{\prime})\cr ~=~&\{\chi_1(\sigma),\chi_1(\sigma^{\prime})\}_{PB},\cr \{\chi_0(\sigma),\chi_1(\sigma^{\prime})\}_{PB} ~=~&\left[ \chi_1(\sigma)+\chi_1(\sigma^{\prime})\right] \delta^{\prime}(\sigma-\sigma^{\prime}). \end{align}\tag{8}$$

De manera equivalente, si definimos

$$\chi_{\pm} ~:=~ \frac{\chi_1\pm\chi_0}{2} ~=~ T_0Y_{\pm}^2 ,\tag{9}$$

con

$$\begin{align} Y^{\mu}_{\pm} ~:=~&\frac{1}{2T_0}P^{\mu}\pm\frac{1}{2}X^{\mu\prime},\cr Y_{\pm,\mu}~:=~&G_{\mu\lambda}Y^{\lambda}_{\pm}\cr ~=~&\frac{1}{2T_0}P_{\mu}\pm\frac{1}{2}G_{\mu\lambda}X^{\lambda\prime}, \end{align}\tag{10}$$

que satisface

$$\begin{align} \{Y_{\pm,\mu}& (\sigma), Y_{\pm^{\prime},\nu}(\sigma^{\prime})\}_{PB}\cr ~=~& \frac{1}{4T_0}\left[ \pm G_{\mu\nu}(\sigma)\pm^{\prime} G_{\mu\nu}(\sigma^{\prime})\right]\delta^{\prime}(\sigma-\sigma^{\prime}) \cr &+\frac{1}{4T_0}\left[\pm \partial_{\nu}G_{\mu\lambda}\mp^{\prime}\partial_{\mu}G_{\nu\lambda}\right]X^{\lambda\prime} \delta(\sigma-\sigma^{\prime}) \cr ~=~& \frac{\pm 1 \pm^{\prime} 1}{4T_0}\left[ G_{\mu\nu}(\sigma) + G_{\mu\nu}(\sigma^{\prime})\right]\delta^{\prime}(\sigma-\sigma^{\prime})\cr & - \frac{\pm 1 \pm^{\prime} 1}{8T_0}\Gamma_{[\mu,\nu]\lambda}X^{\lambda\prime} \delta(\sigma-\sigma^{\prime})\cr & + \frac{\pm 1 \mp^{\prime} 1}{4T_0}X^{\lambda\prime} \Gamma_{\lambda,\mu\nu} \delta(\sigma-\sigma^{\prime}), \end{align}\tag{11}$$

entonces clásicamente obtenemos una suma directa de dos copias del álgebra de Witt

$$\begin{align}\{\chi_{\pm}(\sigma),&\chi_{\pm^{\prime}}(\sigma^{\prime})\}_{PB}\cr~=~& \frac{\pm 1 \pm^{\prime} 1}{2} \left[ \chi_{\pm}(\sigma)+\chi_{\pm^{\prime}}(\sigma^{\prime})\right] \delta^{\prime}(\sigma-\sigma^{\prime}).\end{align} \tag{12}$$

Nótese en particular que el$+$y el$-$sector en ec. (12) ¡Conmutación mutua de Poisson! La densidad hamiltoniana total adquiere la forma "multiplicadores de Lagrange por restricciones"

$${\cal H}~=~\lambda^{\alpha} \chi_{\alpha}, \qquad \alpha~\in~\{0,1\} .\tag{13}$$

IV) El Hessian lee

$$H_{(1)\mu\nu}~:=~\frac{\partial^2 {\cal L}_{(1)}}{\partial \dot{X}^{\mu}\partial \dot{X}^{\nu}} ~=~2 X^{\prime}_{\mu}X^{\prime}_{\nu} -2d G_{\mu\nu}\tag{14} ,$$

$$H_{(1)\mu\nu}X^{\prime\nu}~=~0, \qquad H_{(1)\mu\nu}\dot{X}^{\nu}~=~P_{(1)\mu},\tag{15}$$

$$\begin{align} H_{\mu\nu}~:=~& \frac{\partial^2 {\cal L}_{NG}}{\partial \dot{X}^{\mu}\partial \dot{X}^{\nu}}\cr ~=~&-\frac{T_0}{2{\cal L}_{(1)}^{\frac{1}{2}}}H_{(1)\mu\nu}+\frac{T_0}{4{\cal L}_{(1)}^{\frac{3}{2}}}P_{(1)\mu}P_{(1)\nu}\end{align}\tag{16} ,$$ $$\begin{align} -\frac{{\cal L}_{(1)}^{\frac{3}{2}}}{T_0}H_{\mu\nu} ~=~&\frac{1}{2}{\cal L}_{(1)}H_{(1)\mu\nu}+\frac{1}{4}P_{(1)\mu}P_{(1)\nu}\cr ~=~& (c^2-ad)(X^{\prime}_{\mu}X^{\prime}_{\nu} -d G_{\mu\nu})\cr &- (c X^{\prime}_{\mu} -d \dot{X}_{\mu})(c X^{\prime}_{\nu} -d \dot{X}_{\nu}).\end{align}\tag{17}$$

V) Es fácil comprobar que$\dot{X}$y$X^{\prime}$son dos modos cero para el Hessian$H_{\mu\nu}$.

Ahora considere un modo cero arbitrario

$$Z~\notin~ {\rm span}_{\mathbb{R}}(\dot{X},X^{\prime}).\tag{18}$$

Nos gustaría encontrar dos números reales.$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$tal que el vector

$$V ~:=~ Z - \alpha \dot{X} - \beta X^{\prime} \tag{19}$$ es ortogonal a$\dot{X}$y$X^{\prime}$, es decir $$V\cdot \dot{X}~=~0\qquad\text{and}\qquad V\cdot X^{\prime}~=~0. \tag{20}$$ Es fácil ver que esto es posible si${\cal L}_{(1)}\neq 0$, que se cumple en los puntos regulares de la hoja de mundo, cf. inecuación (2). Entonces se sigue de la ec. (18) que$V\neq 0$. Y desde$\dot{X}$es no espacial, entonces la ec. (20) implica que$V$es como el espacio.

VI) Finalmente la forma cuadrática se lee

$$0~=~Z^{\mu}H_{\mu\nu}Z^{\nu}~\stackrel{(14)}{=}~\frac{T_0 d V^2}{{\cal L}_{(1)}^{\frac{1}{2}}}~>~0.\tag{21}$$ Contradicción.

Por eso$\dot{X}$y$X^{\prime}$son los únicos dos modos cero. Van de la mano con las dos restricciones de primera clase (6) y (7).

Referencias:

1. B. Zwiebach, Un primer curso de teoría de cuerdas, 2ª edición, 2009; pag. 109-110.

2. E. Kiritsis, Teoría de cuerdas en pocas palabras, 2007; p.15.

I) En esta respuesta alternativa resolvemos el hessiano singular$H_{\mu\nu}$de la acción de la cuerda de Nambu-Goto introduciendo dos variables auxiliares desde el inicio, lo que muestra indirectamente que la hessiana$H_{\mu\nu}$debe tener co-rango 2. La métrica del espacio de destino tiene$(-,+,\ldots,+)$convención de signos, y$c=1=\hbar$. Considere la densidad lagrangiana extendida de Nambu-Goto$^1$

$$\begin{align} {\cal L}(X,e,b) ~:=~&-\frac{{\cal L}_{(1)}(X,b)}{2e}-\frac{eT_0^2}{2}, \qquad e~>~0,\cr {\cal L}_{(1)}(X,b)~:=~&-b^2+2bc-a d ,\cr a~:=~&\dot{X}^2~\leq~0,\cr c~:=~&\dot{X}\cdot X^{\prime} ,\cr d~:=~&(X^{\prime})^2~>~0. \end{align}\tag{1}$$

II) Los oms para$e$y$b$son

$$(eT_0)^2~\approx~{\cal L}_{(1)}(X,b) \qquad\text{and}\qquad b~\approx~c, \tag{2}$$ respectivamente. [La ecuación de movimiento (eom) significa la ecuación EL . El$\approx$signo significa aquí módulo igual a los eoms.] Si integramos las variables auxiliares$e$y$b$, obtenemos la densidad lagrangiana habitual de Nambu-Goto

$$\begin{align}{\cal L}_{(1)}(X,b\!=\!c) ~=~&-\det\left(\partial_{\alpha} X\cdot \partial_{\beta} X\right)_{\alpha\beta} \cr ~=~&-\det\begin{pmatrix}a &c \cr c & d \end{pmatrix}\cr ~=~& c^2-a d~\geq~ 0, \cr {\cal L}_{NG}(X)~:=~&{\cal L}\left(X,e\!=\!\frac{\sqrt{{\cal L}_{(1)}(X,b\!=\!c)}}{T_0} ,b\!=\!c\right)\cr ~=~& -T_0\sqrt{{\cal L}_{(1)}(X,b\!=\!c)}.\end{align}\tag{3}$$

III) Los momentos son

$$P_{(1)\mu} ~:=~\frac{\partial {\cal L}_{(1)}}{\partial \dot{X}^{\mu}} ~=~ 2b X^{\prime}_{\mu} -2 d \dot{X}_{\mu} ,\tag{4}$$ $$P_{\mu}~:=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{X}^{\mu}} ~=~ -\frac{1}{2e} P_{(1)\mu}. \tag{5}$$

Es posible resolver para las velocidades

$$\begin{align} \dot{X}_{\mu}~=~&\frac{b}{d}X^{\prime}_{\mu}-\frac{1}{2d}P_{(1)\mu}\cr ~=~&\frac{b}{d}X^{\prime}_{\mu}+\frac{e}{d}P_{\mu}.\end{align}\tag{6}$$

Esto muestra indirectamente que el original Nambu-Goto Hessian$H_{\mu\nu}$(en el$X$-sector solamente) debe tener co-rango (menor o igual a) 2. La introducción de variables auxiliares$e$y$b$ha hecho la correspondencia$\dot{X} \leftrightarrow P$biyectiva [La transformación completa de Legendre es singular en el sector auxiliar, ya que$\dot{e}$y$\dot{b}$no aparecer en${\cal L}$.]

IV) Eliminando la dependencia de la velocidad (6), la densidad lagrangiana se convierte en

$${\cal L}_{(1)}~=~-\frac{e^2P^2}{d}.\tag{7}$$

La densidad hamiltoniana adquiere la forma "multiplicadores de Lagrange por restricciones"

$$\begin{align} {\cal H}~:=~& P\cdot \dot{X} - {\cal L}\cr ~=~&\frac{b}{d}\chi_1 +\frac{e}{2d}\chi_2, \cr H :=& \int \! d\sigma~{\cal H}. \end{align}\tag{8}$$

Tenga en cuenta que las variables auxiliares$e$y$b$juegan el papel de los multiplicadores de Lagrange en la formulación hamiltoniana. Las dos restricciones de primera clase son

$$\begin{align} \chi_1~:=~&P\cdot X^{\prime} ~\approx~0, \cr \chi_2~:=~&P^2+T_0^2(X^{\prime})^2~\approx~0.\end{align}\tag{9}$$

La primera mitad de las ecuaciones de Hamilton. reproduce la ec. (6). La segunda mitad de las ecuaciones de Hamilton. produce el eom de Nambu-Goto.

Referencias:

1. B. Zwiebach, Un primer curso de teoría de cuerdas, 2ª edición, 2009; pag. 109-110.

2. E. Kiritsis, Teoría de cuerdas en pocas palabras, 2007; p.15.

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$^1$La integración gaussiana sobre la variable auxiliar$b\equiv b_M$se ve ingenuamente inestable en la firma de Minkowski. Uno debe rotar Wick$\tau_E=i\tau_M$a la firma euclidiana para obtener una densidad lagrangiana$-{\cal L}_M={\cal L}_E>0$delimitado por abajo con$-ib_M=b_E\in\mathbb{R}$.

Una prueba general que se aplica a las acciones invariantes de reparametrización

$$S = \int d^2 u \mathcal{L}(x^{\mu},x_{,i}^{\mu}), \ \ \ \ i = 0,1, \ \ \ \mu = 0,1,\dots, D- 1,$$ es tener en cuenta que parte de la derivación del teorema de Noether (la derivación en la que asume que el elemento de volumen también varía), se deriva esquemáticamente de la siguiente manera (consulte la referencia a continuación para obtener detalles) para una variación infinitesimal de los parámetros $\tilde{u}^i(u) = u^i + \varepsilon^i(u)$al notar $$\begin{align} \delta S &= \delta \int d^2 u \mathcal{L}(x^{\mu},x_{,i}^{\mu}) \\ &= \int d^2 u [\dfrac{ \partial \mathcal{L}}{\partial x^{\mu}} \delta x^{\mu} + \dfrac{ \partial \mathcal{L}}{\partial x^{\mu}_{,i}} \delta x^{\mu}_{,i} + \mathcal{L} \partial_i \varepsilon^i ] \\ &= \int d^2 u \{ \partial_i [ (\mathcal{L} \delta^i_j - \dfrac{ \partial \mathcal{L}}{\partial x^{\mu}_{,i}} x^{\mu}_{j})\varepsilon^j ] - ( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^{\mu}} - \dfrac{\partial }{\partial u^i} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{,i}^{\mu}}) x^{\mu}_{,i} \} \\ &= 0, \end{align}$$ implica, por variaciones de la $u^i$que desaparecen en los límites, que los operadores $$\begin{align} L_{\mu}(\partial x, \partial^2 x) = \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^{\mu}} - \dfrac{\partial }{\partial u^i} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{,i}^{\mu}} \end{align}$$ satisfacer las identidades $$\begin{align} L_{\mu}(\partial x, \partial^2 x) x^{\mu}_{,i} = 0 , \ \ \ i = 0,1 \end{align}$$ automáticamente, lo que significa que sólo tenemos $D - 2$ecuaciones de movimiento para $D$coordenadas, de modo que la solución depende de dos funciones arbitrarias de los parámetros $u^0,u^1$.

Para acciones como la acción Nambu-Goto que no dependen del$x^{\mu}$los operadores$L_{\mu}$coje la forma

$$L_{\mu}(\partial x, \partial^2 x) = \dfrac{\partial}{\partial \tau} (\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}^{\mu}}) + \dfrac{\partial}{\partial \sigma} (\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x'^{\mu}})$$ y satisfacer las identidades $$\begin{align} L_{\mu}(\partial x, \partial^2 x) \dot{x}^{\mu} &= 0 \\ L_{\mu}(\partial x, \partial^2 x)x'^{\mu} &= 0 \end{align}$$ que cuando se expanden se convierten, digamos, en $\dot{x}^{\mu}$: $$\begin{align} 0 &= L_{\mu}(\partial x, \partial^2 x) \dot{x}^{\mu} \\ &= [\dfrac{\partial}{\partial \tau} (\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}^{\mu}}) + \dfrac{\partial}{\partial \sigma} (\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x'^{\mu}})]\dot{x}^{\mu} \\ &= [\dfrac{\partial}{\partial \tau} (\dfrac{\partial \mathcal{L}(\dot{x},x')}{\partial \dot{x}^{\mu}}) + \dfrac{\partial}{\partial \sigma} (\dfrac{\partial \mathcal{L}(\dot{x},x')}{\partial x'^{\mu}})]\dot{x}^{\mu} \\ &= [ \dfrac{\partial^2 \mathcal{L}(\dot{x},x')}{\partial \dot{x}^{\nu} \partial \dot{x}^{\mu}} \ddot{x}^{\nu} + \dots + \dfrac{\partial}{\partial \sigma} (\dfrac{\partial \mathcal{L}(\dot{x},x')}{\partial x'^{\mu}})]\dot{x}^{\mu} \\ &= [\dfrac{\partial^2 \mathcal{L}(\dot{x},x')}{\partial \dot{x}^{\nu} \partial \dot{x}^{\mu}} \dot{x}^{\mu} ] \ddot{x}^{\nu} + \dots \end{align}$$ and since this must hold regardless of the choice of $x^{\mu}$, the coefficients of each derivative of $x^{\nu}$ must be zero automatically, implying the Hessian satisfies $$[\dfrac{\partial^2 \mathcal{L}(\dot{x},x')}{\partial \dot{x}^{\nu} \partial \dot{x}^{\mu}} \dot{x}^{\mu} ] = 0$$ y del mismo modo a partir de $x'^{\mu}$, dando el rango de la arpillera para ser $D- 2$. Además, analizando los componentes de $$t_{ij} = \mathcal{L} \delta^i_j - \dfrac{ \partial \mathcal{L}}{\partial x^{\mu}_{,i}} x^{\mu}_{j} = 0$$ obtienes ambas restricciones primarias para la acción Nambu-Goto. Todo esto se hace en:

Referencia:

1. Barbashov, BM y Nesterenko, VV (1990). Introducción a la teoría relativista de cuerdas; Segundo. 3, 7, Apéndice B.