Manipulación de series para encontrar el intervalo máximo de convergencia

Question

Manipulación de series para encontrar el intervalo máximo de convergencia

Matemáticas
series geométricas
secuencias y series
convergencia divergencia

Mono en la pared

Problema original: usa la fórmula para la suma de una serie geométrica para encontrar una serie de potencias que converja en expresiones. ¿Para qué valores de y converge la serie?

\frac{8}{4 + y}

$8\over 4+y$

Las fórmulas para la suma de una serie geométrica se escriben en la forma

\frac{a}{1 - r}

$a\over1-r$ donde a es el primer término y r es la razón común.

Hice varios enfoques para este problema y obtuve diferentes intervalos de convergencia, sin embargo, quería encontrar el intervalo máximo de convergencia, así que probé esto:

\underset{b \to \infty}{límite} \frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{b}} \frac{8}{4 + y}

$\lim_{b \to \infty } {{1\over b}\over {1\over b}}{8\over4+y}$

\underset{b \to \infty}{límite} \frac{\frac{8}{b}}{\frac{4 + y}{b}}

$\lim_{b \to \infty } {{8\over b} \over {{4+y}\over b}}$

A partir de esto, agregué un 0 elegante al denominador y luego reescribí la expresión en términos de la suma de una serie geométrica.

\underset{b \to \infty}{límite} \frac{\frac{8}{b}}{1 - 1 + \frac{4 + y}{b}}

$\lim_{b \to \infty } {{8\over b} \over 1-1+ {{4+y}\over b}}$

\underset{b \to \infty}{límite} \frac{\frac{8}{b}}{1 - (1 - \frac{4 + y}{b})}

$\lim_{b \to \infty } {{8\over b} \over 1-(1- {{4+y}\over b})}$

Por último, transformo la expresión en las sumas de Riemann, por lo que podría usar la prueba de la razón para encontrar el intervalo de convergencia (1*).

\underset{b \to \infty}{límite} \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{8}{b} {(1 - \frac{4 + y}{b})}^{norte}

$\lim_{b \to \infty } \sum_{n=0}^\infty {8 \over b} \left( {1- {{4+y}\over b}} \right)^n$

Prueba de razón:

\underset{b \to \infty}{límite} \underset{norte \to \infty}{límite} | \frac{\frac{8}{b} (1 - \frac{4 + y}{b})^{norte + 1}}{\frac{8}{b} (1 - \frac{4 + y}{b})^{norte}} | < 1

$\lim_{b \to \infty }\lim_{n \to \infty } \left\lvert{{{8 \over b}({1- {{4+y}\over b}})^{n+1}}\over{{{8 \over b}({1- {{4+y}\over b}})^n}}} \right\rvert < 1$

Esto se simplifica a:

\underset{b \to \infty}{límite} (- 1 < 1 - \frac{4 + y}{b} < 1)

$\lim_{b \to \infty } \left(-1 < 1-{{4+y}\over b} < 1\right)$

\underset{b \to \infty}{límite} (2 b - 4 > y > - 4)

$\lim_{b \to \infty} (2b-4 > y > -4)$

Que luego simplifico a:

\infty > y > - 4

$\infty > y > -4$

Mi pregunta principal aquí, ¿puedo hacer esto para encontrar un intervalo de convergencia? Mi preocupación es que cuando elijo un valor para y que estaba en mi intervalo y pongo la suma de Riemann (en 1*) en mi calculadora, TI-Nspire CX, no fue capaz de resolver y en su lugar lo escupió de vuelta. Mi segunda pregunta fue ahora que tengo este gran intervalo de convergencia porque mi calculadora no puede calcular la suma, ¿puedo usar la expresión original? $8 / (4+y)$ para evaluar una suma dada una y elegida que está en el intervalo?

usuario223391

¿Por qué te presentaste?

lim_{b \to \infty}

$\lim_{b\to\infty}$ ?

Mono en la pared

porque quería ver si puedo aumentar el intervalo de convergencia.

usuario223391

El intervalo de convergencia es lo que sea, nada de lo que hagas puede "aumentarlo"

Respuestas (1)

Manipulación de series para encontrar el intervalo máximo de convergencia

porque quería ver si puedo aumentar el intervalo de convergencia.
El intervalo de convergencia es lo que sea, nada de lo que hagas puede "aumentarlo"

cuasi · Answer 1

\begin{aligned} \frac{8}{4 + y} & = \frac{8}{4 + y} \cdot \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} \\ = \frac{2}{1 + \frac{y}{4}} \\ = \frac{2}{1 - (- \frac{y}{4})} \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{8}{4+y} &= \frac{8}{4+y}\cdot \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}\\[4pt] &=\frac{2}{1+\frac{y}{4}}\\[6pt] &=\frac{2}{1-\left(-\frac{y}{4}\right)}\\[4pt] \end{align*}$

que se puede expresar como una serie geométrica con

a = 2, r = - \frac{y}{4}

$a=2,\;r = -\frac{y}{4}$ por lo tanto converge si y solo si

| - \frac{y}{4} | < 1

$\large{\left|-\frac{y}{4}\right|<1}$ , entonces el intervalo de convergencia es

- 4 < y < 4

$-4 < y < 4$ .

Pero en sus comentarios, preguntó si el intervalo para $y$ se puede ampliar desplazando el centro.

Digamos que cambias el centro a $y=1$ . De este modo

\begin{aligned} \frac{8}{4 + y} & = \frac{8}{5 + (y - 1)} \\ = \frac{8}{5 + (y - 1)} \\ = \frac{8}{5 + (y - 1)} \cdot \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}} \\ = \frac{\frac{8}{5}}{1 + \frac{y - 1}{5}} \\ = \frac{\frac{8}{5}}{1 - (- \frac{y - 1}{5})} \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{8}{4+y} &= \frac{8}{5+(y-1)}\\[4pt] &=\frac{8}{5+(y-1)}\\[4pt] &=\frac{8}{5+(y-1)}\cdot \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}}\\[4pt] &=\frac{\frac{8}{5}}{1+\frac{y-1}{5}}\\[6pt] &=\frac{\frac{8}{5}}{1-\left(-\frac{y-1}{5}\right)}\\[4pt] \end{align*}$

que se puede expresar como una serie geométrica con

a = \frac{8}{5}, r = - \frac{y - 1}{5}

$a=\frac{8}{5},\;r = -\frac{y-1}{5}$ por lo tanto converge si y solo si

| - \frac{y - 1}{5} | < 1

$\large{\left|-\frac{y-1}{5}\right|<1}$ , entonces el intervalo de convergencia es

- 4 < y < 6

$-4 < y < 6$ .

En general, si cambia el centro a $y=c$ , dónde $c \in \mathbb{R}$ y $c \ne -4$ , el nuevo radio de convergencia será $|4+c|$ , y el intervalo de convergencia para $y$ será el intervalo abierto centrado en $y=c$ , con un punto final en $-4$ .

Entonces sí, el intervalo de convergencia para $y$ se puede hacer más grande al centrar la serie más lejos de $-4$ , pero tenga en cuenta que, independientemente de la elección del centro, el intervalo de convergencia seguirá estando acotado.

Sí, he hecho ese enfoque y me da el intervalo de 4 > y > -4. Sin embargo, estaba tratando de encontrar un mayor intervalo de convergencia.
centrado en $y=0$ , ciertamente no puedes ampliar el intervalo $(-4,4)$ .
Estoy de acuerdo, sin embargo, qué pasa si muevo el centro. Por ejemplo, he intentado reescribir la expresión como $\frac{8}{1 - (- 3 - y)}$ $8 \over 1-(-3-y)$ lo que me dio un intervalo de (-4, -2).
Entonces, en mi ejemplo anterior, siento que he movido el centro para crear un intervalo más grande.
Sé que lo es, estoy señalando que el intervalo puede cambiar de tamaño según el enfoque.
Pero sí, si cambias el centro a $y=c$ , dónde $c \in \mathbb{R}$ y $c \ne -4$ , entonces el nuevo radio de convergencia será $|c+4|$ , por lo que puede hacerse arbitrariamente grande.

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usuario223391

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