Dilema sobre el primer teorema fundamental del Cálculo

En el libro Principios del análisis matemático de Walter Rudin, estas son las afirmaciones con las que me encontré.

1. Corolario 5.12$\space\space\space$Si$f$es diferenciable en$[a,b]$entonces$f'$no puede tener discontinuidades simples en$[a,b]$. Pero$f'$ puede tener discontinuidades del segundo tipo.

2. Teorema 6.20$\space\space\space$Dejar$f$ $\in$ $\mathscr{R}$en$[a,b].$Para$a\le x \le b,$poner $$F(x)=\int_a^xf(t)dt.$$ Entonces$F$es continua en$[a,b]$; además, si$f$es continua en un punto$x_0$de$[a,b]$, entonces$F$es diferenciable en$x_0$, y $$F'(x_0)=f(x_0).$$

3. Teorema 6.21$\space\space\space$Si$f$ $\in$ $\mathscr{R}$en$[a,b]$y si hay una función diferenciable$F$en$[a,b]$tal que$F'=f$, entonces $$\int_a^b{f(x)dx}=F(b)-F(a).$$

Ahora el problema es que podemos tener una función diferenciable$F$en$[a,b]$tal que$F'= f$y$f$es discontinua, aunque la discontinuidad será de segunda especie según el enunciado$1$. Si estas discontinuidades son finitas entonces$f\in\mathscr{R}.$Supongamos un punto$c\in[a,b]$dónde$f$es discontinua (discontinuidad de segunda especie). Desde,$f\in\mathscr{R}$definamos una función

$$G=\int_a^xf(t)dt\tag{1}$$ para$x\in[a,b]$. Entonces de acuerdo con la declaración$2$,$G(x)$claramente no es diferenciable en$c$desde$f$es discontinuo en$c$. Ahora, de la declaración$3$también podemos decir que $$\int_a^xf(t)dt=F(x)-F(a)\tag{2}$$ si$x\in[a,b]$. Así de las ecuaciones$(1)$y$(2)$tenemos $$F(x)-F(a)=G(x)$$ lo que haría$G(x)$diferenciable para todos$x\in[a,b]$pero sabemos que$G(x)$no es diferenciable en$c$. Entonces, esta es una paradoja que significa que estoy equivocado en alguna parte, pero por mucho que lo intento, no puedo encontrarlo. Sería de gran ayuda si alguien puede señalar el error.

Editar:$\mathscr{R}$aquí denota el conjunto de funciones integrables de Riemann