¿Los vectores propios de diferentes observables abarcan el mismo espacio de Hilbert?

El espacio de Hilbert está atravesado por bases independientes. El libro de texto decía que los vectores propios de observables abarcan el espacio de Hilbert. ¿Los vectores propios de múltiples observables abarcan el mismo espacio de Hilbert?

Lo que quiero decir es que supongamos que tenemos un estado | Ψ ⟩ que vive en el espacio de Hilbert. Tenemos dos operadores que corresponden a observables denotados como O ^ 1 y O ^ 2 . Medimos lo observable O 1 . nuestro estado | Ψ ⟩ colapsará y mediremos uno de los valores propios. El estado | Ψ ⟩ será uno de los vectores propios, digamos | Ψ ⟩ = | ψ 1 ⟩ dónde | ψ 1 ⟩ uno de los vectores propios de observable O ^ 1 es. Medimos ahora lo observable O 2 . nuestro estado | Ψ ⟩ = | ψ 1 ⟩ colapsará a uno de los estados propios de observable O 2 . Los vectores propios O ^ 1 abarcar el espacio de Hilbert. Los vectores propios O ^ 2 abarcar el espacio de Hilbert. ¿Ambos vectores propios abarcan el mismo espacio de Hilbert donde el estado | Ψ ⟩ ¿vidas?

Hay algo un poco circular aquí. Cuando define los dos operadores como si ambos abarcaran el mismo espacio de Hilbert, entonces, por supuesto, abarcan ese espacio de Hilbert. Si tiene un estado que vive en un espacio de Hilbert diferente al que abarca algún operador, entonces realmente no puede medir ese operador. Entonces, la mayoría de estas preguntas se responderán por definición o considerando las cantidades reales en el sistema físico que está investigando.

Respuestas (1)

Sí, abarcan el mismo espacio de Hilbert. Si los dos observables conmutan,

[ O 1 , O 2 ] = O 1 O 2 − O 2 O 1 = 0 ,
comparten una base propia, es decir, hay una base { | ψ norte ⟩ } con
O 1 | ψ norte ⟩ = λ norte | ψ norte ⟩ ,   O 2 | ψ norte ⟩ = ρ norte | ψ norte ⟩ ,
dónde λ norte son los valores propios de O 1 y ρ norte son los valores propios de O 2 . Sin embargo, si los observables no conmutan,
[ O 1 , O 2 ] ≠ 0 ,
no comparten y base propia. En este caso, hay diferentes bases, { | ψ norte i ⟩ } ,   i = 1 , 2 , con
O 1 | ψ norte 1 ⟩ = λ norte | ψ norte 1 ⟩ ,   O 2 | ψ norte 2 ⟩ = ρ norte | ψ norte 2 ⟩ .
Las dos bases abarcan el espacio de Hilbert y puedes ir de una a la otra mediante una transformación unitaria
| ψ norte 2 ⟩ = ∑ metro tu metro norte | ψ metro 1 ⟩ ,   tu metro norte = ⟨ ψ metro 1 | ψ norte 2 ⟩ .
Esta transformación unitaria es análoga a rotar tu marco de referencia en un espacio vectorial real como R 2 en el complejo espacio de Hilbert de su sistema cuántico. Sigue siendo el mismo espacio solo que en una base diferente.

Ahora, como sugiere preparar el sistema en un estado propio de O 1 , decir | ψ 1 1 ⟩ . Luego, al medir O 2 , terminamos en el estado | ψ norte 2 ⟩ con probabilidad | ⟨ ψ metro 1 | ψ norte 2 ⟩ | 2 .

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