¿Qué significa que 2 observables sean compatibles?

Si tengo 2 operadores observables A y B , si A y B desplazarse: [ A , B ] = 0 , entonces necesariamente deben formar un conjunto completo de observables conmutables (CSCO). Esencialmente, si 2 observables son compatibles, esto parece ser bastante significativo.

Solo quería tener una intuición de lo que esto significa. ¿Tiene algo que ver con la precisión de la medición?

Por ejemplo, sé que si el hamiltoniano es independiente del tiempo, conmuta consigo mismo:

[ H , H ] = 0
Sin embargo, si el hamiltoniano depende del tiempo, esto no es cierto en todo momento:
[ H ( t 1 ) , H ( t 2 ) ] ≠ 0
¿Es esto porque el hamiltoniano está cambiando y, por lo tanto, ya no actúa necesariamente de la misma manera en todo momento?

También sé que los operadores de posición e impulso conmutan si están en diferentes direcciones, pero no conmutan si están en la misma dirección:

[ X i , pag j ] = d i j
¿Esto implica que si 2 observables no conmutan, esto corresponde a la idea de que no podemos medirlos simultáneamente con alta precisión?

Un conjunto de CSCO por definición es tal que todos los estados propios comunes posibles están determinados únicamente por los valores propios de estos observables. En términos de estados clásicos, que el estado está determinado únicamente por los valores de estos observables.
Relacionado con la ley de conservación si un observable conmuta con el Hamilton.
@K_inverse ¿Podría elaborar un poco más sobre eso? si por ejemplo [ S X , H ] = 0 , esto implica alguna ley de conservación de espín?
¡Así es, la ecuación de movimiento de Heisenberg! d A d t = 1 i ℏ [ A , H ] . Así que si A viaja con H , entonces d A d t = 0 . ¡Gracias!
@CuriousHegemon Además, la ecuación de movimiento de Heisenberg en realidad sigue el movimiento clásico. Intente elaborar un sistema simple usted mismo :)

Respuestas (1)

En mecánica cuántica, una medida (casi) siempre modifica el sistema que se está midiendo. Intuitivamente, si dos mediciones conmutan, la forma en que una medición cambia el sistema no afecta los resultados de la otra medición. Entonces, si repite esas dos medidas tantas veces como quiera, en cualquier orden, siempre obtendrá los mismos resultados para cada una de las dos medidas.

Por otro lado, si las dos medidas no se conmutan, entonces cada vez que realice una, (al menos parcialmente) "restablecerá" el otro observable a un valor indeterminado (estoy pasando por alto algunas sutilezas).

Esto explica por qué si un observable conmuta con el hamiltoniano, su valor se conserva en el tiempo: el hamiltoniano "empuja el sistema hacia el futuro", por lo que, en cierto sentido, está actuando continuamente sobre el sistema y cambiándolo de una manera que modifica el valor de la mayoría de los observables, a excepción de los especiales que conmutan con el hamiltoniano, por lo que no se ven afectados por la evolución del tiempo.

Gran respuesta, gracias. Creo que tiene mucho más sentido ahora. Si tenemos dos observables A y B , Entonces sí A B | ψ ⟩ ≠ B A | ψ ⟩ , dónde | ψ ⟩ es un estado ket, esto implica que importa el orden en que medimos A y B, lo que implica que la medición de A o B afecta la medición del otro. ¡Impresionante!
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