¿Los generadores pertenecen al grupo de Lie o al álgebra de Lie?

Question

¿Los generadores pertenecen al grupo de Lie o al álgebra de Lie?

Física
mentira-álgebra
terminología
teoría de grupos
representaciones de grupo

siraj r khan

En los artículos de física, ¿sería correcto decir que cuando se mencionan generadores, en realidad se refieren a los generadores del álgebra de Lie en lugar de a los generadores del grupo de Lie? Por ejemplo, he visto fuentes que dicen que el $SU(N)$ el grupo tiene $N^2-1$ generadores, pero en realidad estos son generadores para el álgebra de Lie, ¿no es así?

¿Es esto también cierto para las representaciones? Cuando decimos que un campo está en el representante adjunto, ¿significa esto típicamente el representante adjunto del álgebra en lugar del grupo de calibre?

Arnold Neumaier

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Respuestas (2)

¿Los generadores pertenecen al grupo de Lie o al álgebra de Lie?

twistor59 · Answer 1

twistor59

Si tiene una base para el álgebra de Lie, puede hablar de estos vectores base como "generadores del grupo de Lie". Esto es cierto en el sentido de que, al usar el mapa exponencial en combinaciones lineales de ellos, generas (al menos localmente) una copia del grupo de Lie. Entonces, son una especie de "elementos infinitesimales primitivos" que puedes usar para construir la estructura local del grupo de Lie.

Con respecto a su segundo punto, sí, los campos en las teorías de calibre son generalmente entidades valoradas en álgebra de Lie.

siraj r khan

Muchas gracias por la rápida respuesta a mi pregunta. Así que supongo que, en el sentido más estricto, las matrices de Pauli no son generadoras del grupo SU(2) (no se combinan a través de la acción del grupo para generar el grupo). Sin embargo, como usted dice, el grupo SU(2) se puede obtener de ellos a través de la exponencial de sus combinaciones lineales, por lo que los llamamos generadores. Técnicamente, son los generadores de su(2) (el álgebra de Lie). ¿Crees que esta es una buena manera de verlo?

twistor59

Supongo que "generan" el álgebra de Lie en el sentido de que cualquier base "genera" el espacio vectorial que abarca. Tienes razón en que no se combinan a través de la acción grupal para generar el grupo, se combinan a través del mapa exponencial para generarlo.

Torsten Schöneberg

Bueno, para ser pedante, incluso los exponenciales de una base aleatoria de LA no necesariamente generan el grupo en el sentido de la teoría de grupos: por ejemplo, tome

G = S^{1}

$G = S^1$ con

g = R, e x p (x) = e^{i x}

$\mathfrak{g}=\mathbb R, exp(x) =e^{ix}$ , después

x = π

$x=\pi$ es una base de

R

$\mathbb R$ (como cualquiera

0 \neq x \in R

$0 \neq x\in \mathbb R$ ), pero

e x p (π) = - 1

$exp(\pi) =-1$ solo genera el subgrupo de dos elementos

\pm 1

$\pm 1$ . Lo que es cierto es que para cualquier elemento base

x

$x$ ,

\exp (R x)

$\exp(\mathbb Rx)$ es un subgrupo de "un parámetro" de

G

$G$ , y todos esos juntos generarían el componente conexo de

G

$G$ (en el ejemplo anterior,

S^{1}

$S^1$ ya

= e x p (R)

$=exp(\mathbb R)$ .

joshfísica · Answer 2

El usuario twistor59 ha abordado la parte relacionada con la terminología del "generador", pero permítanme dar un poco más de detalles sobre la segunda parte de la pregunta. Voy a restringir la discusión a los grupos de matriz de Lie por simplicidad.

Algunos antecedentes.

Dada una mentira grupo $G$ con álgebra de mentira $\mathfrak g$ , existen dos asignaciones $\mathrm{Ad}$ y $\mathrm{ad}$ , ambos se llaman "adjuntos". en especial para todos $g\in G$ y para todos $X,Y\in\mathfrak g$ , definimos $\mathrm {Ad}_g:\mathfrak g\to \mathfrak g$ y $\mathrm{ad}_X$ por

{A d}_{gramo} (X) = gramo X {gramo}^{- 1}, {a d}_{X} (Y) = [X, Y]

$\mathrm{Ad}_g(X) = gX g^{-1}, \qquad \mathrm{ad}_X(Y) = [X,Y]$ el mapeo

A d

$\mathrm{Ad}$ que toma un elemento

g \in G

$g\in G$ y lo asigna a

{A d}_{g}

$\mathrm{Ad}_g$ es una representación de

G

$G$ actuando

g

$\mathfrak g$ , mientras que el mapeo

a d

$\mathrm{ad}$ que toma un elemento

X \in g

$X\in \mathfrak g$ y lo asigna a

{a d}_{X}

$\mathrm{ad}_X$ es una representación de

g

$\mathfrak g$ actuando sobre sí mismo.

En otras palabras, $\mathrm{Ad}$ es una representación del grupo Lie mientras que $\mathrm{ad}$ es una representación del álgebra de Lie, pero ambos actúan sobre el álgebra de Lie, que es un espacio vectorial.

Aparte.

En respuesta al comentario del usuario Christoph a continuación. Nótese que si definimos la operación de conjugación $\mathrm{conj}$ por

{C o norte j}_{gramo} (h) = gramo h {gramo}^{- 1}

$\mathrm{conj}_g(h) = g h g^{-1}$ Luego, para los grupos de matriz de Lie (que inicialmente dije que estaba restringiendo la discusión para simplificar) tenemos

\frac{d}{d t} |_{t = 0} {C o norte j}_{gramo} ({mi}^{t X}) = {A d}_{gramo} X

$\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}\mathrm{conj}_g(e^{tX}) =\mathrm{Ad}_g X$

Abordando la pregunta.

Habiendo dicho todo esto, en mi experiencia (en la teoría de alta energía), los físicos generalmente se refieren a $\mathrm{ad}$ , la representación del álgebra de Lie. De hecho, a menudo lo verás escrito en textos de física que

generadores $T_a$ del álgebra de Lie proporcionan la representación adjunta proporcionada $(T_a)_b^{\phantom bc} = f_{ab}^{\phantom{ab}c}$ .

donde el $f$ son las constantes de estructura del álgebra de Lie con respecto a la base $T_a$ ;

[T_{a}, T_{b}] = F_{a b}^{C} T_{C}

$[T_a,T_b] = f_{ab}^{\phantom{ab}c} T_c$ Pero fíjate que

{a d}_{T_{a}} (T_{b}) = [T_{a}, T_{b}] = F_{a b}^{C} T_{C}

$\mathrm{ad}_{T_a}(T_b) = [T_a,T_b] = f_{ab}^{\phantom{ab}c} T_c$ lo que muestra que las representaciones matriciales de los generadores en la representación del álgebra de Lie

a d

$\mathrm{ad}$ precisamente tienen entradas dadas por las constantes de estructura.

Anexo (22 de mayo de 2013).

Sea un campo con valor de álgebra de mentira $\phi$ en un colector $M$ ser dado. Si el campo se transforma bajo la representación $\mathrm{Ad}$ (que es una representación del grupo actuando sobre el álgebra) entonces tenemos

ϕ (X) \to {A d}_{gramo} (ϕ (X)) = gramo ϕ (X) {gramo}^{- 1}

$\phi(x)\to \mathrm{Ad}_g(\phi(x)) = g\phi(x) g^{-1}$ Pero recuerda que ( ver aquí )

A d

$\mathrm{Ad}$ está relacionado con

a d

$\mathrm{ad}$ (una representación del álgebra actuando sobre sí misma) como sigue: Escribe un elemento del grupo de Lie como

g = e^{X}

$g=e^X$ para algunos

X

$X$ en el álgebra (aquí suponemos que

G

$G$ está conectado) entonces

{A d}_{gramo} (ϕ (X)) = {mi}^{{a d}_{X}} ϕ (X) = ϕ (X) + {a d}_{X} (ϕ (X)) + O (X^{2})

$\mathrm{Ad}_g(\phi(x)) = e^{\mathrm{ad}_X}\phi(x) = \phi(x) + \mathrm{ad}_X(\phi(x)) +\mathcal O(X^2)$ de modo que la correspondiente ley de transformación "infinitesimal" es

d ϕ (X) = {a d}_{X} (ϕ (X))

$\delta\phi(x) = \mathrm{ad}_X(\phi(x))$ Entonces, cuando se habla de un campo que se transforma bajo la representación adjunta,

A d

$\mathrm{Ad}$ y

a d

$\mathrm{ad}$ en algún sentido tienen el mismo contenido;

a d

$\mathrm{ad}$ es la versión "infinitesimal" de

A d

$\mathrm {Ad}$

no debería $\mathrm{Ad}$ ser el diferencial de la conjugación en lugar de la conjugación en sí, es decir $\mathrm{Ad}_g=\mathrm{T}_e(\mathrm{conj}_g):\mathrm{T}_eG\to \mathrm{T}_eG$ , mientras $\mathrm{conj}_g:G\to G$ ?
@Christoph Tenga en cuenta que prologué la discusión restringiendo a los grupos de matriz Lie. En este caso, la definición que hice tiene sentido (aunque quizás no sea estándar). Ver la sección Aparte . Con respecto a las convenciones de nomenclatura para Ad v. conj, estoy siguiendo la convención del libro de Brian C. Hall Lie Groups, Lie Algebras, and Representations . En particular, véase pág. 96.
ah... así que me faltaba algo obvio, en particular que para los grupos de matrices, $\mathrm{conj}_g$ es un mapa lineal y por lo tanto $\frac{d}{dt}\big|_{t=0}\mathrm{conj}_g(\exp tX)=\mathrm{conj}_g(\frac{d}{dt}\big|_{t=0}\exp tX)=\mathrm{conj}_g(X)$ ; de todos modos, +1
@Christoph Sí, en realidad no creo que sea obvio en absoluto. Cuando me preguntaste eso me confundí bastante por un momento; gracias por señalar eso.
@joshphysics Gracias josh, realmente lo aprecio. Así que cuando decimos 'un campo, $\phi$ , está en la representación adjunta de SU(2)' (como ejemplo arbitrario), ¿significa esto que las matrices pertenecientes a la representación adjunta del álgebra de Lie (ad) son las matrices cuya matriz multiplica el campo $\phi$ ?
Por cierto, no sabía a quién hacer clic para obtener la respuesta aceptada. Ambos realmente me ayudaron, pero twistor59 llegó primero.
@joshphysics: sí, no creo que sea tan obvio como pensaba: mi argumento funciona para grupos de matrices que son subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^{n\times n}$ , pero funciona en general?
@Christoph Sí, no estoy seguro de cuán generalmente se sostiene. Hall define un grupo de Lie matricial como un subgrupo cerrado de $\mathrm{GL}(n,\mathbb C)$ , y luego usa la convención que uso en la respuesta para $\mathrm{Ad}$ ...
@joshphysics: cerrado bajo la operación de grupo (que sería redundante, pero lo he escuchado antes), cerrado como en colector cerrado (es decir, compacto y sin límite) o topológicamente cerrado;); estas notas de clase solo dicen Por supuesto, esta fórmula es válida para cualquier grupo de matriz Lie , por lo que realmente podría ser trivial incluso si aún no lo veo
@Christoph Hall se refiere a lo que esencialmente equivale a topológicamente cerrado utilizando una noción de convergencia que define anteriormente.
@joshphysics Lamento volver a esto, pero creo que mi comentario anterior fue incorrecto. Cuando decimos 'un campo, $\phi$ está en el representante adjunto de SU (2) ', esto generalmente significa que los campos se transforman como $\phi \rightarrow g \phi g^{-1}$ . En otras palabras, cuando hablamos de campos y sus transformaciones de calibre en física, tomamos 'representaciones' para significar la definición de grupo de una representación, no la definición del álgebra de Lie. Sin embargo, cuando decimos, por ejemplo, 'SU(N) tiene $N^{2} - 1$ generadores' en realidad nos referimos a la definición del álgebra de Lie de un generador (en oposición al generador de un grupo).
@SirajRKhan Agregué un apéndice que podría ayudar en este sentido. Y sí, los físicos se refieren a generadores en el contexto de grupos de Lie, por lo general significan elementos de una base para el álgebra de Lie del grupo.

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