Los estados de la representación adjunta corresponden a los generadores

De la sección 2.4 de Introducción a la teoría de grupos para físicos de von Steinkirk [PDF]

Definición de un conjunto de matrices T a como

[ T a ] b C ≡ − i F a b C
es posible recuperar (2.1.2):
[ T a , T b ] = i F b C d T C .
Los estados de la representación adjunta corresponden a los generadores | X a ⟩ . Un producto escalar conveniente es:
⟨ X a | X b ⟩ = λ − 1 tr ⁡ ( X a † X b ) .
La acción de un generador en un estado es:
X a | X b ⟩ = | X C ⟩ ⟨ X C | X a | X b ⟩ = | X C ⟩ [ T a ] C b = i F a b C | X C ⟩ = | i F a b C X C ⟩ = | [ X a , X b ] ⟩ .

Entiendo la definición de la representación adjunta. Utiliza constantes de estructura como componentes de matriz de generadores, pero no puedo entender el significado de los estados | X a ⟩ . ¿Qué significa "corresponder"? ¿Cuál es la definición exacta de | X a ⟩ ?

Respuestas (1)

Parece que von Steinkirk quiso escribir 1

Los Estados | X a ⟩ de la representación adjunta corresponden a los generadores de álgebra de Lie T a .

El espacio vectorial

V   =   s pag a norte R { | X a ⟩ ∣ a = 1 , … , norte }

para la representación adjunta

a d : L   →   mi norte d ( V )

es isomorfo al álgebra de Lie en sí

L   =   s pag a norte R { T a ∣ a = 1 , … , norte } .

Aquí la representación adjunta se define mediante el corchete de mentira

a d ( X ) | Y ⟩   =   | [ X , Y ] ⟩ , X , Y   ∈   L .

Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

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1 Tenga en cuenta que el libro contiene varios errores tipográficos. ¡Compruebe, por ejemplo, los índices en las fórmulas mencionadas!

Los estados de la representación adjunta corresponden a los generadores
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