Asunción de soluciones en ecuaciones diferenciales parciales

En la Introducción a la electrodinámica de Griffiths , en todos los problemas relacionados con el cálculo del potencial dentro de tuberías y placas metálicas puestas a tierra, al resolver la Ecuación de Laplace , se ha supuesto que la solución es un producto de funciones de X y y . Se ha resaltado en la siguiente figura. El propio Griffiths ha escrito que la suposición es totalmente absurda.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Mi pregunta es:

¿Por qué hacemos tal suposición que solo nos da una solución especial ? ¿Por qué no buscamos una solución general usando algún procedimiento estándar para resolver el pde? ¿Hay algún tipo de ventaja en usar este tipo de suposición?

Porque de lo contrario el problema es muy difícil, porque en realidad tienes que resolver una ecuación diferencial parcial. Cuando se separa, solo obtenemos ecuaciones diferenciales ordinarias.
@knzhou Pero luego obtenemos solo un pequeño subconjunto de todas las soluciones posibles. ¿No es eso algo de qué preocuparse?
Está en tu publicación. Al pegarlos juntos, obtenemos una solución general.
@count_to_10: No solo una solución general, la solución general. La singularidad es importante aquí; como dice el mismo Griffiths (p. 120 de la 4.ª ed.), "El teorema de unicidad es una licencia para tu imaginación. No importa cómo llegues a tu solución; si (a) satisface la ecuación de Laplace y (b) tiene el valor correcto en los límites, entonces es correcto ".
Debe continuar leyendo, porque el escritor justificará su suposición un par de páginas más adelante. El truco es que esta es una PDE lineal, por lo que si tiene dos soluciones, su suma también es una solución. obtienes como solución particular senos y cosenos, cuando los combinas obtienes una serie de Fourier que te permite expresar la solución general.
@MichaelSeifert gracias Michael, debería haberlo visto.

Respuestas (1)

Para ecuaciones diferenciales parciales lineales (ecuación de onda, ecuación de calor de Fourier, ecuación de Schrödinger, ecuación de difusión (segunda ley de Fick), ecuación de difusión convectiva y algunas otras) el método de separación de variables parece funcionar siempre (y puede adaptarse incluso para ecuaciones con términos fuente, es decir, PDE no homogéneas).

Si una función tu ( X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X norte ) se busca entonces el Ansatz es una función:

tu ( X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X norte ) = X 1 ( X 1 ) X 2 ( X 2 ) X 3 ( X 3 ) . . . X norte ( X norte )

Insertar el Ansatz en el PDE original y una reelaboración mínima permite la separación de variables en forma de una serie de ODE:

F 1 [ X 1 ( X 1 ) ] = F 2 [ X 2 ( X 2 ) ] + F 3 [ X 3 ( X 3 ) ] + . . . + F norte [ X norte ( X norte ) ]

Introduciendo una constante de separación como − metro 2 luego da:

F 1 [ X 1 ( X 1 ) ] = F 2 [ X 2 ( X 2 ) ] + F 3 [ X 3 ( X 3 ) ] + . . . + F norte [ X norte ( X norte ) ] = − metro 2

luego resolvemos F 1 [ X 1 ( X 1 ) ] = − metro 2 usando condiciones de contorno relevantes. Una vez − metro 2 se determina también podemos escribir:

F 2 [ X 2 ( X 2 ) ] = − metro 2 − F 3 [ X 3 ( X 3 ) ] − . . . − F norte [ X norte ( X norte ) ] = − o 2

Entonces podemos resolver:

F 2 [ X 2 ( X 2 ) ] = − o 2

El proceso se repite para todas las variables.

Un buen ejemplo es mi respuesta a esta pregunta SE .

Otro ejemplo paso a paso: ecuación de onda para una cuerda elástica .

Nota: el signo de la constante de separación − metro 2 tiene que ser evaluado: puede ser cero, negativo o positivo.

¿Hay algún tipo de ventaja de usar este tipo de suposición?

La ventaja es que generalmente es simple y parece funcionar siempre. Por supuesto, la solución obtenida se puede verificar fácilmente volviendo a insertarla en el PDE original.

Asunción de soluciones en ecuaciones diferenciales parciales
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v