¿Diferentes soluciones posibles para la ecuación de onda?

Question

¿Diferentes soluciones posibles para la ecuación de onda?

DrManhattan

La ecuación de onda es:

\nabla^{2} ψ (X, t) - \frac{1}{C} \frac{\partial^{2} ψ (X, t)}{\partial t^{2}} = F (X, t)

$\nabla^2\psi(\mathbf{x},t)-\frac{1}{c}\frac{\partial^2 \psi(\mathbf{x},t)}{\partial t^2}=f(\mathbf{x},t)$

La función de Green es entonces

\nabla^{2} GRAMO (X, t) - \frac{1}{C} \frac{\partial^{2} GRAMO (X, t)}{\partial t^{2}} = d (X - X^{'}) d (t - t^{'})

$\nabla^2G(\mathbf{x},t)-\frac{1}{c}\frac{\partial^2 G(\mathbf{x},t)}{\partial t^2}=\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}')\delta(t-t')$

Usando la transformada de Fourier

(- k^{2} + \frac{ω^{2}}{C}) GRAMO (k, ω) = {mi}^{i k \cdot X^{'}} {mi}^{- i ω t^{'}}

$(-k^2+\frac{\omega^2}{c})G(\mathbf{k},\omega)=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}'}e^{-i\omega t'}$

Entonces

GRAMO (X, t) = \int_{R^{4}} \frac{{mi}^{i k \cdot (X^{'} - X)} {mi}^{- i ω (t^{'} - t)}}{(- k^{2} + \frac{ω^{2}}{C})} d^{3} k d ω

$G(\mathbf{x},t)=\int_{\mathbb{R}^4}\frac{e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{x}'-\mathbf{x})}e^{-i\omega(t'-t)}}{(-k^2+\frac{\omega^2}{c})}d^3k\,d\omega$

Consideremos solo la integral en el espacio de frecuencia

I_{R} = \int_{R} \frac{{mi}^{- i ω (t - t^{'})}}{(ω^{2} - C^{2} k^{2})} d ω

$I_{\mathbb{R}}=\int_{\mathbb{R}}\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)}d\omega$

El integrando tiene dos polos simples en $\omega=\pm ck$ y tiene que ser resuelto usando el teorema del residuo. Elijamos la solución retardada ( $t'<t$ ).

Si mi camino ( $\Gamma$ ) es solo un semicírculo cerrado, los polos no están dentro del camino, así que tengo dos opciones:

Mover los polos: $\pm ck = \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0}\pm ck-i\varepsilon$ con $\varepsilon\in \mathbb{R}^+$
Agrega dos pequeños semicírculos al camino.

Primero sigamos el método (1), eligiendo el camino con el semicírculo ( $SC$ ) cerrando en el plano complejo inferior, su contribución es cero.

\begin{matrix} (a) & I_{Γ} = I_{R} + I_{S C} = I_{R} = - 2 π i (R mi s (\frac{{mi}^{- i ω (t - t^{'})}}{(ω^{2} - C^{2} k^{2})}, + C k) + R mi s (\frac{{mi}^{- i ω (t - t^{'})}}{(ω^{2} - C^{2} k^{2})}, - C k)) \end{matrix}

$I_{\Gamma}=I_{\mathbb{R}}+I_{SC}=I_{\mathbb{R}}=-2\pi i\left(\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},+ck\right)+\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},-ck\right)\right) \tag{a}$

Pero si muevo los polos en el plano superior (es decir, $\pm ck = \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0}\pm ck+i\varepsilon$ con $\varepsilon\in \mathbb{R}^+$ ) no hay polos en el camino por lo que

\begin{matrix} (b) & I_{Γ} = I_{R} + I_{S C} = I_{R} = 0 \end{matrix}

$I_{\Gamma}=I_{\mathbb{R}}+I_{SC}=I_{\mathbb{R}}=0 \tag{b}$

Siguiendo en cambio el método (2):

Si elijo los semicírculos pequeños ( $sc_\pm$ ) para estar en el plano superior, entonces los polos están dentro $\Gamma$ y luego

I_{Γ} = I_{R} + I_{S C} + I_{s C_{-}} + I_{s C_{+}} = I_{R} + I_{s C_{-}} + I_{s C_{+}} = - 2 π i (R mi s (\frac{{mi}^{- i ω (t - t^{'})}}{(ω^{2} - C^{2} k^{2})}, + C k) + R mi s (\frac{{mi}^{- i ω (t - t^{'})}}{(ω^{2} - C^{2} k^{2})}, - C k))

$I_{\Gamma}=I_{\mathbb{R}}+I_{SC}+I_{sc_-}+I_{sc_+}=I_{\mathbb{R}}+I_{sc_-}+I_{sc_+}=-2\pi i\left(\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},+ck\right)+\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},-ck\right)\right)$

entonces

\begin{matrix} (C) & I_{R} = I_{Γ} - I_{s C_{-}} - I_{s C_{+}} = - π i (R mi s (\frac{{mi}^{- i ω (t - t^{'})}}{(ω^{2} - C^{2} k^{2})}, + C k) + R mi s (\frac{{mi}^{- i ω (t - t^{'})}}{(ω^{2} - C^{2} k^{2})}, - C k)) \end{matrix}

$I_{\mathbb{R}}=I_{\Gamma}-I_{sc_-}-I_{sc_+}=-\pi i\left(\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},+ck\right)+\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},-ck\right)\right) \tag{c}$

porque

I_{s C_{\pm}} = - π i R mi s (\frac{{mi}^{- i ω (t - t^{'})}}{(ω^{2} - C^{2} k^{2})}, \pm C k)

$I_{sc_\pm} = -\pi i\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},\pm ck\right)$

Si elijo los semicírculos pequeños ( $sc_\pm$ ) estar en el plano inferior, no hay polos adentro $\Gamma$ y luego estoy recibiendo de nuevo

\begin{matrix} (d) & I_{R} = I_{Γ} - I_{s C_{-}} - I_{s C_{+}} = - π i (R mi s (\frac{{mi}^{- i ω (t - t^{'})}}{(ω^{2} - C^{2} k^{2})}, + C k) + R mi s (\frac{{mi}^{- i ω (t - t^{'})}}{(ω^{2} - C^{2} k^{2})}, - C k)) \end{matrix}

$I_{\mathbb{R}}=I_{\Gamma}-I_{sc_-}-I_{sc_+}=-\pi i\left(\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},+ck\right)+\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},-ck\right)\right) \tag{d}$

porque en este caso

I_{s C_{\pm}} = π i R mi s (\frac{{mi}^{- i ω (t - t^{'})}}{(ω^{2} - C^{2} k^{2})}, \pm C k)

$I_{sc_\pm} = \pi i\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},\pm ck\right)$

Luego encontré tres soluciones diferentes, la primera debería ser la correcta, pero ¿por qué? ¿Cómo lo elijo? ¿Estoy haciendo algo mal?

Tal vez no se deba hacer esta analogía, pero wikipedia afirma que en la resolución de la ecuación de Klein-Gordon (muy similar a la ecuación de onda) es lo mismo agregar un pequeño semicírculo alrededor del polo o modificar el integrando agregando un término pequeño $\varepsilon \to 0$ a los polos. ¿Por qué mi caso debería ser diferente?

Respuestas (1)

¿Diferentes soluciones posibles para la ecuación de onda?

Aarón · Answer 1

Aarón

La primera, como nota, es la respuesta esperada. La segunda y la tercera respuesta son, de hecho, las mismas, y ahí ha calculado el valor principal de Cauchy de la integral. La diferencia radica principalmente en cómo estás tomando el límite de algunos $\epsilon \rightarrow 0$ .

En el primer caso, está cambiando ligeramente el integrando, y en el segundo/tercer caso está cambiando ligeramente el dominio de integración. No hay razón para esperar que estas integrales sean iguales.

De hecho, se puede ver que el primer y el tercer enfoque son iguales siempre que se incluyan las partes del semicírculo en la tercera respuesta . De manera similar, si uno hace esto para la segunda respuesta, obtiene el propagador avanzado.

Al final del día, lo que realmente hemos aprendido es que extraer respuestas sensatas de integrales divergentes es un poco arbitrario. Uno debe pensar en estas diversas prescripciones como trucos o mnemónicos para obtener la respuesta correcta, pero no como soluciones matemáticamente rigurosas al problema. En otras palabras, hay muchas formas posibles de regularizar una integral divergente para extraer una respuesta convergente, pero para obtener la respuesta "física" correcta correspondiente al problema original, solo se permiten prescripciones particulares.

Hay formas de formalizar matemáticamente el problema de manera que uno no tenga que recurrir a esos trucos para obtener la respuesta deseada. Como señaló DanielSank, se puede codificar la prescripción correcta/obtener el resultado correcto rigurosamente al hacer cumplir las condiciones de contorno adecuadas. No estoy familiarizado con cómo hacer esto, desafortunadamente.

DrManhattan

Para ser exactos, obtuve cuatro soluciones: las dos primeras cambiando ligeramente el integrando (agregando el término

\pm i ε

$\pm i\varepsilon$ a los polos), los dos últimos cambiando ligeramente el dominio de integración (añadiendo dos pequeños semicírculos). Afortunadamente, los dos últimos métodos dan como resultado la misma solución, pero los dos primeros no. No creo que haya hecho nada que no sea matemáticamente riguroso (solo apliqué teoremas), así que todavía no veo por qué las soluciones deberían ser diferentes. El problema más importante es, en cualquier caso, ¿por qué debo elegir la primera y no las otras soluciones?

DanielSank

No estoy de acuerdo con esta respuesta. Esta respuesta dice que la elección es arbitraria, pero eso no es cierto. Los diferentes esquemas de manejo de polos corresponden a diferentes condiciones de contorno.

DrManhattan

@DanielSank ¿Puedes explicar qué quieres decir? ¿Puedes escribir una respuesta en la que expliques cuál es la conexión entre las condiciones de contorno y las soluciones?

DanielSank

@AlessandroZunino A ver si este otro post .

Aarón

@DanielSank Actualicé la respuesta. Estoy de acuerdo contigo y creo que no estaba claro. Mi punto es que hay muchos para regularizar una integral divergente, pero obtener la respuesta correcta correspondiente al problema original en cuestión selecciona una respuesta particular.

DrManhattan

@DanielSank Gracias, he leído la respuesta a la otra publicación, pero mi problema sigue ahí. Tal vez haya una razón física para mover los polos hacia abajo en lugar de hacia arriba (espero que también haya una matemática y me gustaría saber eso también), pero ¿por qué si modifico un poco el contorno? ¿Por qué obtengo la mitad de la solución común? ¿Por qué debo preferir una solución a otra?

Aarón

@AlessandroZunino La razón física es que si quieres algo en

t

$t$ afectar algo más en

t + Δ

$t+\Delta$ y no

t - Δ

$t-\Delta$ (dónde

Δ > 0

$\Delta >0$ ), debe hacer que el propagador sea idéntico

0

$0$ para

t^{'} < t

$t'<t$ . Tal condición requiere que elija la primera receta (o recetas equivalentes). Alternativamente, se puede introducir amortiguación para seleccionar una dirección de tiempo preferida y establecer formalmente la amortiguación en

0

$0$ al final del día.

DrManhattan

@Aaron Esta razón puede excluir la solución (b), pero todavía no veo qué está mal en las soluciones (c) y (d).

Aarón

@AlessandroZunino En (c) y (d), ¿los propagadores no son distintos de cero?

DrManhattan

@Aaron ¿Qué quiere decir exactamente con propagador ? ¿La función de Green explícita? Sí, es distinto de cero y es exactamente la mitad de la solución (a).

Aarón

@AlessandroZunino Escribí mi comentario, pero el punto es que hay dos regiones en las que considerar la función del verde (propagador):

t > t^{'}

$t> t'$ y

t < t^{'}

$t< t'$ . Para la función del verde retardado

G

$G$ , es distinto de cero para

t < t^{'}

$t<t'$ y cero para

t > t^{'}

$t>t'$ . Si observa (c) y (d), será distinto de cero en ambas regiones (porque los semicírculos esencialmente recogen la mitad del polo).

DrManhattan

@Aaron Ok, entonces, si muevo los polos hacia arriba, obtengo la solución avanzada, si muevo los polos hacia abajo, obtengo la solución retardada y si los dejo permanecer en el eje real, obtengo una solución mixta. ¿Está bien? Si es así, le sugiero que edite su respuesta, creo que una explicación clara ayudará a muchas personas. Por cierto, todos estos son argumentos físicos, pero desde un punto de vista matemático, ¿la misma integral tiene diferentes soluciones? ¿Es eso posible?

DanielSank

"Por cierto, todos estos son argumentos físicos, pero desde un punto de vista matemático, ¿la misma integral tiene diferentes soluciones?"Recuerde que todo esto proviene de una ecuación diferencial, la ecuación de onda, y las ecuaciones diferenciales no están bien definidas sin condiciones de contorno. La integral en sí misma con polos en la línea real generalmente tampoco está bien definida. Debe elegir un desplazamiento de polo y luego llevar el límite del desplazamiento a cero al final, y esta elección está dictada por las condiciones de contorno.

DrManhattan

@DanielSank Tal vez no se debería hacer esta analogía, pero wikipedia afirma que en la resolución de la ecuación de Klein-Gordon (muy similar a la ecuación de onda) es lo mismo agregar un pequeño semicírculo alrededor del polo o modificar el integrando agregando un pequeño plazo

ε \to 0

$\varepsilon \to 0$ a los polos. ¿Por qué mi caso debería ser diferente?

¿Diferentes soluciones posibles para la ecuación de onda?

DrManhattan

Respuestas (1)

Aarón

DrManhattan

DanielSank

DrManhattan

DanielSank

Aarón

DrManhattan

Aarón

DrManhattan

Aarón

DrManhattan

Aarón

DrManhattan

DanielSank

DrManhattan

Función de verdes en EM con confusión de condiciones de contorno

¿Cuáles son buenas soluciones de la ecuación de Helmholtz similares a un haz gaussiano no paraxial?

Conexión formal entre simetría y ley de Gauss

Resolviendo la ecuación diferencial de una viga bajo carga en movimiento usando funciones verdes

¿Por qué siempre hay una franja brillante en el ángulo cero en el experimento de la doble rendija de la luz?

¿Se puede cambiar la naturaleza de una onda EM después de interactuar con algún aparato?

Usando exponencial complejo para representar ondas en EM [duplicar]

Propagación de ondas mecánicas en el vacío.

¿Cuál es exactamente el significado de las formulaciones débiles y cuál es su propósito?

2 formas de generar ondas electromagnéticas