Función de verdes en EM con confusión de condiciones de contorno

Así que pensé que estaba entendiendo las funciones de Green, pero ahora no estoy seguro. Comenzaré explicando (brevemente) lo que creo que sé y luego haré la pregunta.

Fondo

Los verdes son una forma de resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas resolviendo primero la respuesta a un impulso unitario. Soy consciente de que son una herramienta a la que a veces se le puede dar un significado físico. Temo que esos dos reinos se crucen para mí donde no deberían.

L ^ F ( X ) = s ( X )

L ^ GRAMO ( X ) = d ( X )

Usando estos podemos obtener la siguiente expresión general para la solución:

F ( X ) = ∫ GRAMO ( X − X ′ ) s ( X ′ ) d X ′

Físicamente, en EM, la función de Green parece tener la forma de un potencial debido a una única carga puntual. Es decir, podemos construir nuestra solución para una distribución de carga arbitraria 'sumando' todo para crear nuestra distribución de carga conocida.

∇ 2 Φ = − ρ ϵ

∇ 2 GRAMO ( X − X ′ ) = − d ( X − X ′ ) ϵ

Φ ( X ) = ∫ GRAMO ( X − X ′ ) ρ ( X ′ ) d X ′

Dónde

GRAMO ( X − X ′ ) = 1 | X − X ′ |

Cuando comenzamos a hablar sobre las condiciones de contorno, hay una ambigüedad en la definición de nuestra función de Green, de modo que podemos tener la siguiente forma:

GRAMO ( X − X ′ ) = 1 | X − X ′ | + F ( X − X ′ ) de modo que ∇ 2 F ( X − X ′ ) = 0

Supongo que aquí es donde comienza a volverse borroso para mí.

Pregunta:

Jackson 2.7 a) Considere el semiplano z>0 con condiciones de frontera de Drichlet en el plano z=0. Deseamos escribir la función de green para esta situación.

Muchas soluciones que he encontrado saltan directamente a la función de verdes de:

GRAMO ( X , X ′ ) = 1 | X − X ′ | − 1 | X − X ″ |

Pero no entiendo cómo llegaron aquí -dicen que es obvio- pero por lo que entiendo debo estar perdiendo algo.

¿Cómo es esta la función de los greens si no hay cargo? Parecen aludir a la existencia de un cargo y un cargo de imagen. Parece que estamos tratando de resolver la ecuación de Laplace que es homogénea (así que no entiendo el uso de verdes aquí). Supongo que las condiciones de contorno son lo fundamental que no entiendo completamente.

Siéntase libre de corregir cualquiera de mis malas interpretaciones y errores en general.

Respuestas (2)

Buena pregunta; Estoy seguro de que muchas personas están confundidas con estas cosas (como yo lo estaba la primera vez que usé a Jackson).

Esencialmente, su confusión se reduce a tener cuidado de considerar el siguiente hecho:

La función de Green para un problema de valores de contorno particular depende de las condiciones de contorno.

En particular, supongamos que tiene un problema de valor límite de Dirichlet. Entonces, como muestra Jackson en la página 39, la función de Green adecuada para tal problema de valores en la frontera debe (a) satisfacer la ecuación de Poisson con una fuente de función delta en esa región y (b) desaparecer en la frontera (ver la ecuación 1.43) de esa región. región. Si puede encontrar una función que tenga estas dos propiedades en la región que está considerando, entonces ha encontrado la función de Green para el problema de Dirichlet.

Entonces, si consideramos el medio espacio ( z > 0 ) con condiciones de contorno de Dirichlet en z = 0 , entonces buscamos una función que satisfaga la ecuación de Poisson en el semiespacio superior con fuente unitaria y que desaparezca en la frontera, que en este caso es z = 0 más el "límite en el infinito".

Puede comprobar usted mismo que la función

GRAMO ( X , X ′ ) = 1 | X − X ′ | − 1 | X + X ′ |
tiene estas propiedades. La intuición de esto, y la razón por la que la mayoría de la gente dice que puede escribir esto de inmediato, es que el primer término satisface claramente la ecuación de Poisson con fuente unitaria en la mitad superior del espacio donde X ′ se está tomando para tener z > 0 , y el segundo término corresponde a tener una fuente unitaria en el semiespacio inferior con signo opuesto. Nuestra intuición acerca de los potenciales de las cargas puntuales indica que esto hará que esa combinación desaparezca en z = 0 . Además, el laplaciano del segundo término se anula en el semiespacio superior, por lo que no afecta el hecho de que en el semiespacio superior, esta función satisface la ecuación de Poisson con fuente unitaria en X ′ .

Espero que haya sido claro? Definitivamente puedo tratar de limpiarlo o ampliarlo. ¡Sé por experiencia personal que es un tema confuso!

Anexo en respuesta a los comentarios.

Las funciones de Green están asociadas con un conjunto de dos datos (1) Una región (2) Condiciones de contorno en esa región. La función 1 / | X − X ′ | es la función de Green para (1) todo el espacio con (2) condiciones de contorno de Dirichlet. Esto se debe a que (a) satisface la ecuación de Poisson con fuente unitaria en esa región y (b) desaparece en el límite de esa región (que en este caso está en el infinito). En general, para cualquier región R , para las condiciones de frontera de Dirichlet, siempre y cuando simplemente encontremos una función GRAMO ( X , X ′ ) que, (a) satisface la ecuación de Poisson con una fuente unitaria ubicada en esa región, y que (b) se anula en el límite de la región, entonces hemos encontrado la función de Green para ese problema de Dirichlet (mediante la definición de una función de Green) .

Cuando tratamos de encontrar la función de Green para el problema de Dirichlet en el semiespacio superior, primero imaginamos colocar una carga puntual en el semiespacio superior para que se cumpla la condición (a), esto nos deja con la función 1 / | X − X ′ | dónde X ′ es un punto en el medio espacio superior. Entonces, notamos que aunque esta función es una solución apropiada a la ecuación de Poisson, no se anula para X en el límite, por lo que esta no puede ser la función de Green para este problema de Dirichlet. Necesitamos hacer algo con esta función que no arruine el hecho de que satisface la ecuación de Poisson de fuente unitaria en la mitad superior del espacio, pero que la función resultante satisfaga adicionalmente la condición de contorno apropiada.

Entonces nos preguntamos "¿qué podemos hacer con esta función para que (a) se cumpla, pero para que (b) también se satisfaga en el medio espacio superior . Bueno, notamos que si agregamos cualquier función que satisfaga la ecuación de Laplace (Laplaciano igual a cero) en la mitad superior del espacio para 1 / | X − X ′ | , entonces la función resultante todavía satisfará (a).

Ahora, ¿qué tipo de funciones satisfacen la ecuación de Laplace en el semiespacio superior?

La respuesta es cualquier distribución de carga cuya densidad de carga sea solo distinta de cero fuera del semiespacio superior creará un potencial que satisfaga la ecuación de Laplace en el semiespacio superior .

Entonces, si podemos encontrar una distribución de carga que cuando se coloca en la mitad inferior del espacio produce un potencial que cuando se suma a 1 / | X − X ′ | hace que su suma desaparezca en el límite, entonces su suma satisfará las propiedades requeridas de la función de Green. ¡Aquí es donde notamos que una carga puntual de "imagen" hará exactamente esto!

Todo lo que estamos haciendo con estas cargas puntuales es una forma intuitiva de encontrar una función que satisfaga las propiedades matemáticas apropiadas (a) y (b) que debe satisfacer una función de Green para un problema de Dirichlet.

Creo que lo que dijiste está perfectamente claro: solo me estoy tomando un tiempo para digerirlo. Estoy entendiendo más acerca de cómo entran en juego las condiciones de contorno. Tome la ecuación 1.42 por ejemplo. Si especificamos las condiciones de Dirichlet tales que se debe satisfacer 1.43, ¿por qué ambas integrales de superficie no llegan a cero? (es decir, si GRAMO D = 0 entonces porque no d GRAMO norte d norte ′ = 0 también?) No tengo ningún problema en aceptar su declaración de intuición, excepto por el hecho de que no veo cómo se involucran los cargos en absoluto. ¿Es aquí donde estoy aplicando significado físico a la función verde donde no hay ninguno?
Está bien. Tenga en cuenta que si una función se anula en una superficie, entonces no significa que su derivada normal se anula en esa superficie en general (tome por analogía cualquier función de valor real de una variable real que pasa por cero pero cuya pendiente es distinta de cero en ese punto). punto). La intuición relativa a las cargas puntuales proviene del hecho de que 1 / | X − X ′ | es, hasta la normalización, el potencial eléctrico de una carga puntual en la posición X ′ . Imagina multiplicar la expresión de la función de Green en la respuesta por q 4 π ϵ 0 ,
(cont.) luego observe que se convierte en la suma del potencial eléctrico para una carga puntual q en X ′ más un punto de carga − q en − X ′ (el llamado cargo de imagen). Si piensas en esta situación física, es bastante claro de inmediato que el potencial a lo largo z = 0 se anula para esta configuración de cargas, por lo que no necesitamos hacer un cálculo para estar seguros de que la expresión de la función de Green que escribimos se anula en z = 0 como debería ser para las condiciones de contorno de Dirichlet. Déjame saber si eso hace que la intuición sea más clara.
Bueno, desde las matemáticas está claro, pero para el problema, no entiendo por qué estamos agregando cargos que no están allí, por así decirlo. 1 / | X − X ′ | es la función de Green de una carga puntual, y seguro que al sumar dos simétricamente se construirá la condición límite deseada en este caso, pero ¿esto no tiene ramificaciones en otros lugares? Por ejemplo, es la función de greens para el mismo problema con una carga REAL en z = + X ¿lo mismo? Si no, no entiendo la diferencia. En abstracto, matemáticamente estoy bien. Pensar físicamente como arriba es donde estoy confundido.
(Espero que esté claro dónde está mi problema, no quiero repetir lo mismo una y otra vez)
¡Seguro que tomó un tiempo, pero lo conseguí! Me alegro de ser un experimentador porque esto vuela muy por encima de mi cabeza, sin mencionar mi simple error de momento angular/torque hace unos días. Usted es un activo para este sitio web, gracias.
¡Estoy muy contento de escucharlo! En realidad, estoy haciendo TA para EM de posgrado en este momento, y esto fue, con mucho, lo más confuso para mis estudiantes, por lo que puedo decir, por lo que esta discusión me ayudó a pensar en cómo podría explicar mejor este tema. ¡Gracias por la afirmación positiva!
Si esto surge, recomiendo mencionar que en una región ilimitada, la función de Green por coincidencia (hasta un factor de normalización) es el potencial de una carga puntual. Así que aquí tiene un significado físico. Cuando se usa para resolver problemas, específicamente cuando consideramos límites o regiones finitas del espacio, es puramente una herramienta. Usamos nuestras condiciones, jackson 1.42 y nuestra libertad en GRAMO , a saber GRAMO ( X , X ′ ) = 1 / | X − X ′ | + F ( X , X ′ ) dónde F debe satisfacer la ecuación de Laplace para encontrar la solución. (Eso es brevemente lo que obtuve de sus respuestas y mi investigación). Sería bueno tener un TA graduado.
Ahhh ok ya veo. Sí, ese es un gran punto; Definitivamente lo incluiré en futuras explicaciones. Mi escuela acaba de implementar las secciones de discusión de la voluntad del TA graduado el año pasado; Desearía tener secciones de discusión cuando estaba usando Jackson...
@joshphysics No está usando la segunda identidad de Green, solo usa la definición general de la función Green para invertir la ecuación ∇ 2 Φ ( r ) = − ρ ( r ) / ϵ 0 . Así que me pregunto por qué no escribiste la segunda identidad de Green en esta respuesta. Lo necesita para comprender por qué es importante que la función de Green desaparezca en los límites.
@AlecS "No está usando la identidad de Green...": ¿quién? ¿dónde? No escribí nada sobre las identidades de Green porque no pensé que fuera importante describir por qué la función de Green se desvanece como el límite; la pregunta es qué tienen que ver las funciones de Green con los potenciales de las cargas puntuales.
@joshphysics No digo que estés equivocado ni nada, solo soy un niño tonto. Pero la elección de Dirichlet o Neumann proviene de la segunda identidad de Green, y ni siquiera tienes que elegirlos. Hay infinitas funciones de Green que resolverán un problema dado, pero solo unas pocas convenientes. Estaba preguntando cómo encuentras la función de Green. Bueno, conoce la función de Green general para el operador de Laplace, y luego agrega una parte F satisfactorio ∇ 2 F = 0 en todas partes de la región para facilitar sus integrales (en la segunda identidad de Green).
@joshphysics La pregunta era "¿cómo encuentro la función de Green?". ¿Estoy fuera de lugar aquí...?
@AlecS Ok, es cierto que está preguntando más de lo que acabo de decir. Habiendo dicho esto, estoy de acuerdo en que necesita las identidades de Green para demostrar por qué la función de Green para un problema de valores de contorno dado debe satisfacer ciertas condiciones de contorno. Pero una vez que sabe qué condiciones de contorno satisface la función de Green para su problema, ya no necesita el teorema de Green. Además, la elección de cuál F to pick no es solo una herramienta para facilitar las integrales. La libertad debe usarse para que la función de Green satisfaga las condiciones de contorno apropiadas.
@AlecS De lo contrario, las integrales de superficie simplemente no se pueden hacer. Por ejemplo, si tiene un problema de Dirichlet, entonces no conoce la derivada normal del potencial en el límite, por lo que simplemente no podrá realizar la integral de superficie de la pieza que contiene la derivada normal, a menos que elija la función de Green para desaparecer en el límite.
¿Cómo encontramos la función de Green? ¿Se usa siempre el método de las imágenes? Además, si ya conocemos la función del green, entonces conocemos básicamente el potencial, entonces, ¿cuál es el punto de ir en círculo? (como se menciona en jackson sec.2.7)

Solo quería agregar un punto final para aclararte esto. El potencial de una carga puntual y la función de Green para su problema son los mismos, hasta la constante de normalización. En un comentario, dices que esto es por coincidencia; ¡No lo es, es físico!

Toma tu ecuación ∇ 2 Φ = − ρ ϵ , y suponga que desea que la densidad de carga en esa ecuación sea la de una carga puntual. ¿Qué pondrías como densidad de carga de una carga puntual? Bueno, solo existe en un punto del espacio, y la forma en que expresamos las densidades que existen en un solo punto es usando funciones delta. Así que para una carga puntual, ρ ∼ q d ( | X − X ′ | ) . Las constantes de proporcionalidad exactas no importan tanto como el hecho de que existe una función delta en la densidad de carga. Ahora puede ver que la densidad de carga de una carga puntual insertada en la ecuación le da la ecuación diferencial para la función de Green, hasta las constantes como π y ϵ .

Para reiterar, las cargas puntuales tienen densidades que son proporcionales a su carga y una función delta, por lo que hablar de las funciones de Green y las respuestas a las cargas puntuales es equivalente.

Dije coincidencia ya que este era el punto confuso para mí: cuándo es físico y cuándo no. Es muy intuitivo para mí decir: construyamos una distribución de carga a partir de deltas de dirac. Luego saltamos de los verdes a la convolución de G y ρ . ¡Gracias por la aclaracion!
Función de verdes en EM con confusión de condiciones de contorno
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