Distinción entre entropía de entrelazamiento holográfico y entropía térmica

dado un sistema A y su complemento A ¯ , sabemos que la entropía de entrelazamiento está dada por

S A = − Tr ( ρ A registro ⁡ ρ A ) ,
dónde ρ A es la matriz de densidad reducida obtenida al trazar los grados de libertad en A ¯ .

Es posible geometrizar esta cantidad para una teoría de campos considerando su espacio-tiempo dual y calculando el área de una superficie mínima anclada en el límite de la región A , según lo propuesto por Ryu-Takayanagi.

WLOG, supongamos que el espacio-tiempo dual es Schwarzschild-AdS 3 , tal que la teoría del campo es a temperatura finita y las superficies mínimas son simplemente geodésicas. Es posible mostrar que estas geodésicas comienzan a envolverse alrededor del horizonte de eventos a medida que el tamaño de la región A aumenta Sin embargo, la longitud de una geodésica que envuelve completamente el horizonte corresponde a la entropía térmica de Bekenstein-Hawking.

Por lo tanto, sabemos que la entropía de entrelazamiento contiene información sobre el estado térmico del sistema, al menos para regiones lo suficientemente grandes. ¿Qué pasa si el tamaño de A es tal que la superficie mínima correspondiente no se adentra en el bulto? ¿Hay alguna forma de formalizar la distinción entre entropía térmica y cuántica para un subsistema? A de tamaño arbitrario?

Una persona de información cuántica le dirá que la entropía de entrelazamiento no es una buena medida del entrelazamiento cuántico entre A y su complemento \bar A cuando el sistema total no está en estado puro, precisamente porque puede haber este tipo de contribución termodinámica que usted describe . Se han propuesto diferentes medidas para hacer frente a este caso, por ejemplo, la negatividad.
Debe ir profundo al centro. Dado que la relación RT pide eso. La superficie mínima debe ser una deformación continua del límite, para que no pueda pasar por el agujero negro central.

Respuestas (1)

No estoy seguro de si sería relevante para su pregunta, pero de cualquier manera, una buena medida en este caso parece ser la información mutua. Como se discutió en [1], digamos que tenemos dos subsistemas disjuntos (tiras rectangulares infinitas) A y B en C F T d , cada uno especificado por

X 1 ∈ [ − yo 2 , yo 2 ] , X i ∈ [ − L 2 , L 2 ] s . t . i = 2 , 3 , . . . , d − 2 a norte d L → ∞
que están separados por la distancia X a lo largo de X 1 dirección. La geometría a granel es S C h w a r z s C h i yo d − A d S d + 1 de radio R con la temperatura de Hawking T = r h d 4 π R . Los autores calcularon el HEE tanto para baja temperatura ( yo T ≪ 1 ) y alta temperatura ( yo T ≫ 1 ) casos. Por la definición de Información Mutua como
I ( A : B ) = S ( A ) + S ( B ) − S ( A ∪ B )
y usando sus resultados para S , en el 1 yo ≪ T ≪ 1 X caso en el que se espera que las superficies extremas envuelvan una parte del horizonte con la contribución del área de
A mi X t ∼ r h d − 1 yo L d − 2 ∼ r h d − 1 V s . t . V ≡ V o yo ( A ) = V o yo ( B )
curiosamente tomando el X → 0 límite ( es decir, dos subsistemas se acercan entre sí ) , encontraron que I ( A : B ) | X → 0 resta la contribución térmica ( S t h ∼ T d − 1 V ) y contiene dos términos de ley de área:
i ) un término divergente universal I d i v ∼ S d i v ∼ L d − 2 X d − 2 que se espera [2].

i i ) el término finito S mi norte t ∼ L d − 2 T d − 2 ∼ T d − 2 A s . t . A es el área de subsistemas.

Por lo tanto S mi norte t término sería la medida del entrelazamiento cuántico real, por lo tanto I ( A : B ) | X → 0 nos daría una buena sonda de regiones entrelazadas. Espero que te ayude.

[1] https://arxiv.org/abs/1212.4764
[2] https://arxiv.org/abs/1010.4038

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