Función de onda del estado fundamental de dos partículas en un potencial de oscilador armónico

Question:

Dos giros idénticos que no interactúan. 1 / 2 las partículas están en un potencial de oscilador armónico 1D. Su hamiltoniano está dado por

H = pag 1 X 2 2 metro + 1 2 metro ω 2 X 1 2 + pag 2 X 2 2 metro + 1 2 metro ω 2 X 2 2

¿Cuál es la función de onda del estado fundamental para las dos partículas en los estados singlete y triplete? es decir, cuando S = 0 y S = 1 , respectivamente.

Attempt:Creo que, para partículas indistinguibles que no interactúan, tenemos

ψ = 1 2 { ψ 1 ( X 1 ) ψ 2 ( X 2 ) + ψ 1 ( X 2 ) ψ 2 ( X 1 ) }

Además, el estado fundamental de una sola partícula en un potencial de oscilador armónico 1D es

ψ 0 ( X ) = ( metro ω π ℏ ) 1 / 4 Exp ⁡ { − metro ω 2 ℏ X 2 }

Por lo tanto, nuestro ψ para el sistema de dos partículas solo sea

ψ = 2 2 ( metro ω π ℏ ) 1 / 2 ( Exp ⁡ { − metro ω 2 ℏ ( X 1 2 + X 2 2 ) } )
Siento que me falta algo. Además, ¿cómo contabilizo el S = 0 y S = 1 ¿casos? Estoy muy confundido sobre cómo los incorporo en mi caso general anterior, que no considera el giro. Cualquier ayuda sería apreciada.

Respuestas (1)

De la expresión del hamiltoniano se puede ver que H ^ = H ^ 1 + H ^ 2 . También tienes la siguiente relación de conmutación [ H ^ 1 , H ^ 2 ] = 0 . Por lo tanto, puede etiquetar los estados propios como | norte 1 norte 2 , S METRO s ⟩ . Dónde | S METRO s ⟩ es el estado de espín total de dos partículas. Ahora, el ket correspondiente al estado fundamental es | norte 1 norte 2 , S METRO s ⟩ = | 00 , 00 ⟩ . Para ver dónde entra en juego el giro, observamos el primer estado excitado. La primera energía excitada es mi 1 = mi ( 10 ) = mi ( 01 ) con cuatro posibles kets:

Para el estado singlete ( 1 2 | 10 ⟩ + 1 2 | 01 ⟩ ) | 00 ⟩

Para el estado triplete ( 1 2 | 10 ⟩ + 1 2 | 01 ⟩ ) | S = 1 , METRO s = 0 , ± 1 ⟩

Teniendo fermiones, la función de onda antisimétrica es

ψ = 1 2 ( ψ 1 ( X 1 ) ψ 2 ( X 2 ) − ψ 1 ( X 2 ) ψ 2 ( X 1 ) )

(hay un plus en su función de onda y eso es para partículas de espín entero). Esta función de onda se puede dividir en una parte espacial y otra de giro. Al ser una función de onda antisimétrica, cuando la parte espacial es simétrica la parte de espín es antisimétrica y viceversa.

ψ ( X 1 , X 2 , METRO 1 , METRO 2 ) = { ψ S ( X 1 , X 2 ) x A ( METRO 1 , METRO 2 ) ψ A ( X 1 , X 2 ) x S ( METRO 1 , METRO 2 )

donde esta la parte espacial

ψ S ( X 1 , X 2 ) = 1 2 ( ψ 1 ( X 1 ) ψ 2 ( X 2 ) + ψ 1 ( X 2 ) ψ 2 ( X 1 ) )

ψ A ( X 1 , X 2 ) = 1 2 ( ψ 1 ( X 1 ) ψ 2 ( X 2 ) − ψ 1 ( X 2 ) ψ 2 ( X 1 ) )

y la parte giratoria

x A ( METRO 1 , METRO 2 ) = 1 2 ( ↑ 1 ↓ 2 − ↑ 2 ↓ 2 ) METRO s = 0 , S = 0

x S ( METRO 1 , METRO 2 ) = { ↑ 1 ↑ 2 , METRO s = 1 1 2 ( ↑ 1 ↓ 2 + ↑ 2 ↓ 2 ) METRO s = 0 ↓ 1 ↓ 2 METRO s = − 1 } , S = 1

¿No sería entonces cero la función de onda para el estado fundamental en el caso de una parte espacial antisimétrica?
Mi notación fue un poco descuidada. Debería haber escrito para la función de onda de una partícula algo como esto ψ norte ( 1 ) ( X 1 ) . Así, la parte espacial antisimétrica sería ψ norte norte ′ A ( X 1 , X 2 ) ∝ ( ψ norte ( 1 ) ( X 1 ) ψ norte ′ ( 2 ) ( X 2 ) − ψ norte ′ ( 1 ) ( X 2 ) ψ norte ( 2 ) ( X 1 ) ) . Para norte = norte ′ el estado fundamental sería cero, pero teniendo en cuenta el principio de exclusión de Pauli, no puedes tener dos fermiones en el mismo estado de energía.
@nijakowski En su fórmula para x S para el caso medio quieres decir ↑ 1 ↓ 2 + ↑ 2 ↓ 1 ?
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