Teorema de mapeo de Riemann , el concepto de un mapeo de Riemann

este mapeo es un mapeo de Riemann, por el Teorema de Mapeo de Riemann,

El teorema de mapeo de Riemann no dice cómo se llama el mapa. Dice que existe . Cómo llamarlo es una cuestión de convenciones y definiciones, no de teoremas. La convención con la que estoy familiarizado es (como en la página wiki del teorema de mapeo de Riemann ):

Mapeo de Riemann = un mapa biyectivo holomorfo de un dominio simplemente conectado en el disco unitario.

El teorema de mapeo de Riemann es una declaración de que tal cosa existe para cada dominio simplemente conectado en$\mathbb C$, excepto$\mathbb C$sí mismo.

¿Qué pasa con un mapeo conforme desde, digamos, el primer cuadrante, al disco unitario? Ingenuamente, diría que estas son simplemente regiones conectadas que no son todo el plano complejo.

Correcto.

estas regiones previas a la imagen incluyen el punto en el infinito

Incorrecto. Son ilimitados, pero no incluyen el punto en el infinito porque su complemento también es ilimitado. En términos de la esfera de Riemann ,$\infty$es uno de sus puntos límite.

un mapeo de una tira vertical u horizontal al disco unitario tampoco es un mapeo de Riemann.

Es. Estos son dominios simplemente conectados del plano complejo. No contienen el punto en el infinito.