Ley de transformación de campos vectoriales en RnRn\mathbb{R}^n

TL; DR: sospecho que su confusión radica en el ejemplo de Física 101 que, por ejemplo, el par ordenado ("temperatura", "presión") no define un vector porque cuando cambiamos nuestras coordenadas, la temperatura y la presión no se transforman. Sin embargo, si estamos trabajando en coordenadas cartesianas, el objeto (temperatura)$\hat x$+ (presión)$\hat y$es una combinación lineal de nuestros vectores base y, por lo tanto, se transforma apropiadamente. Esto está tan bien definido como el vector$\mathbf V = 3\hat x + 4\hat y$.

En otras palabras, si escribe un campo vectorial sin sentido físico (pero perfectamente definido) en algún sistema de coordenadas, entonces cambiará de la forma habitual cuando cambie a un sistema de coordenadas diferente.

Aquí está la respuesta larga:

Supongamos que tenemos una función$F$de$\mathbb R^2$a$\mathbb R^2$definido por$F(x,y)=(g(x,y),h(x,y))$dónde$g$y$h$representan la temperatura y la presión respectivamente (el punto es que ambos son campos escalares).

Bien, sutileza número uno: ¿Es el dominio de$F$el múltiple$\mathcal M =\mathbb R^2$, o la imagen de$\mathcal M$bajo un gráfico de coordenadas cartesianas?

$$x :\mathcal M \rightarrow \mathbb R^2$$ $$(a,b) \mapsto (a,b)$$

Interludio Matemático

A pesar de ser una de las variedades más simples posibles,$\mathbb R^2$es realmente terrible desde un punto de vista pedagógico precisamente porque es tan fácil confundirse en este tema. el múltiple $\mathcal M = \mathbb R^2$es abstracto; puntos$p\in \mathbb R^2$consisten en pares ordenados de números reales$(a,b)$, pero esos números no son coordenadas para$p$. Podemos introducir coordenadas definiendo un gráfico de coordenadas en alguna vecindad abierta de$p$. Por ejemplo, podríamos coordinar el semiplano superior a través del gráfico de coordenadas polares:

$$\pi : \mathbb R_+^2 \rightarrow \mathbb R \times(0,\pi)$$ $$(a,b) \mapsto \left(\sqrt{a^2+b^2},\sin^{-1}\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\right)$$ donde la primera coordenada se interpreta como la coordenada radial y la segunda como la coordenada angular. Cualquier función que se define en el nivel múltiple - por ejemplo, algunos$f:\mathcal M \rightarrow \mathbb R$- tiene una expresión correspondiente en cada tabla de coordenadas. Por ejemplo, deja$f:\mathcal M \rightarrow \mathbb R$ser definido por$(a,b)\mapsto a$. Si descendemos a la tabla de coordenadas polares, podríamos considerar la función $$f_\pi: \mathbb R\times (0,\pi)$$ $$(r,\theta) \mapsto (f\circ \pi^{-1})(r,\theta) = f\big(r\cos(\theta),r\sin(\theta)\big) = r\cos(\theta)$$ $f_\pi$es la expresión de la función (a nivel múltiple)$f$en el$\pi$tabla de coordenadas Cambiar a un gráfico diferente implica mapear puntos de nuevo a$\mathcal M$a través de$\pi^{-1}$y luego aplicar el nuevo gráfico de coordenadas. Por ejemplo, si quisiéramos usar el gráfico cartesiano definido anteriormente, tendríamos $$f_x = f\circ x^{-1} = f\circ \pi^{-1} \circ \pi \circ x^{-1} = f_\pi \circ (\pi\circ x^{-1})$$ El mapa$\pi \circ x^{-1}$se llama el mapa de transición del gráfico entre el gráfico cartesiano$x$y la carta polar$\pi$; se ve fácilmente que es $$\pi \circ x^{-1}: \mathbb R_+^2 \rightarrow \mathbb R\times(0,\pi)$$ $$(a,b) \mapsto \left(\sqrt{a^2+b^2},\sin^{-1}\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\right)$$ y entonces $$f_x : (r,\theta)\in \mathbb R\times(0,\pi) \mapsto r\cos(\theta)$$ como se esperaba.

Interludio final

El punto de ese ejemplo algo largo es que cuando dices$F:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R^2$, no está claro si está definiendo un expreso en el nivel múltiple, en cuyo caso no se utilizan coordenadas en absoluto y no hay transformaciones a considerar, o en el nivel de coordenadas (presumiblemente cartesianas), en cuyo caso su$F$realmente es$F_x \equiv F \circ x^{-1}$, y se efectúa un cambio de gráfico simplemente insertando un mapa de transición de gráfico, por ejemplo$F_\pi \equiv F_x \circ (x\circ \pi^{-1})$.

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Desde el punto de vista de la geometría diferencial, la función anterior puede verse como una (representación de coordenadas de un) campo vectorial (es decir, un mapa de la variedad al paquete tangente)

Bueno. Basado en esto, asumiré que estamos trabajando en coordenadas cartesianas. Estás definiendo un campo vectorial.$\mathbf V$en$\mathbb R^2$cuyo$x$-componente es la temperatura y cuyo$y$-componente es la presion. Eso define una pequeña derivada direccional que se encuentra en cada punto, siendo el campo vectorial

$$\mathbf V = g(x,y)\frac{\partial}{\partial x} + h(x,y) \frac{\partial}{\partial y}$$

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Matemáticamente, dado que esta es una sección del mapa de proyección, se ve obligada a obedecer la ley de transformación vectorial, pero físicamente es intuitivamente claro que no se trata de un campo vectorial sino de un montón de escalares, así que implementamos una ley de transformación vectorial o no. (bajo un cambio de coordenadas); ¿tiene sentido hablar de eso?

No sé a qué te refieres aquí. Es un campo vectorial perfectamente bien definido. No tiene ningún significado físico, por lo que sé, pero eso no significa que no sea un campo vectorial.

Un cambio de coordenadas induce un cambio de base, por lo que está preguntando si los componentes de$\mathbf V$cambia cuando pasamos de la base cartesiana$\left\{\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}\right\}$a, por ejemplo, la base polar$\left\{\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial \theta}\right\}$, y la respuesta es obviamente sí: después de todo, los vectores unitarios de coordenadas polares generalmente apuntan en direcciones diferentes a los vectores unitarios cartesianos. si reemplazas

$$\frac{\partial}{\partial x}\mapsto \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \theta}$$ $$\frac{\partial}{\partial y}\mapsto \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial y} \frac{\partial}{\partial \theta}$$ en nuestra expresión original para$\mathbf V$, luego, cuando el polvo se asiente, tendrás algo de la forma

$$\mathbf V = V^r \frac{\partial}{\partial r} + V^\theta \frac{\partial}{\partial \theta}$$

dónde$V^{r}$y$V^\theta$son algunas combinaciones lineales (dependientes de la posición) de$g$y$h$. Esa es toda la regla de transformación de vectores: expresar el mismo campo vectorial usando diferentes vectores base requiere diferentes componentes, lo que debería ser bastante obvio.

En realidad, esto no es del todo correcto: sus funciones$g$y$h$son realmente$g_x=g\circ x^{-1}$y$h_x = h\circ x^{-1}$, por lo que bajo el cambio de gráfico también serían reemplazados por$g_\pi = g_x \circ (x\circ \pi^{-1})$y$h_\pi = h_x \circ (x\circ \pi^{-1})$.

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Más generalmente, si tenemos un$n$-variedad lisa dimensional$\mathcal M$(así que piense en una variedad riemanniana de 4, por ejemplo) y una función$F$de$M$a$\mathbb R^n$, ¿gobernará la naturaleza física de esta función (es decir, dependiendo de qué cantidad física represente) su comportamiento de transformación?

No. Siempre que tenga una función bien definida en el nivel múltiple, eso se traduce inmediatamente en una expresión en cualquier gráfico de coordenadas en el que desee trabajar. No hay nada transformador en esta idea, si tiene un punto$p$que se está asignando a algún otro espacio y usted etiqueta$p$por algunas coordenadas, entonces obtienes una función que come esas coordenadas. Si cambias las coordenadas, cambias la función.

En este caso, ese otro espacio era el paquete tangente, y realizamos una transformación gráfica correspondiente en eso (es decir, un cambio de base) que fue inducida por la transformación gráfica en la variedad$\mathcal M=\mathbb R^2$, que agregó una capa de complejidad.