Campos vectoriales de coordenadas asociados a coordenadas normales

Dejar$(M,g)$ser una variedad pseudo-Riemann,$p\in M$y$\mathcal{B}_p=\{X_i^p \,:\,i=1,\ldots,n\}\in T_pM$una base ortonormal del espacio tangente del punto$p \in M$.

Adjunto a esta base$\mathcal{B}_p$y usando el mapa exponencial (inducido por la conexión Levi-Civita), tenemos el llamado sistema de coordenadas normal alrededor de una vecindad$U \subset M$de$p$

$\phi:U \subset M \rightarrow \phi(U) \subset \mathbb{R}^n$.

Mi pregunta es sobre los campos de vectores de coordenadas locales adjuntos a este sistema de coordenadas:

$\left\{ \left.\frac{\partial}{\partial \phi_1}\right|, \ldots, \left.\frac{\partial}{\partial \phi_n}\right| \right\} \subset \mathfrak{X}(U)$.

No es difícil ver que estos campos vectoriales evaluados en$p$coincidir con los vectores tangentes originales utilizados para definir el sistema de coordenadas normal, es decir

$\left.\frac{\partial}{\partial \phi_i}\right|_p = X_i^p \;\;\;\;$para todos$i=1,\ldots, n$,

y por lo tanto forman una base ortonormal de$T_pM$.

Me gustaría saber si los campos vectoriales de coordenadas evaluados en un punto diferente$U \ni q \neq p$

$\left\{ \left.\frac{\partial}{\partial \phi_1}\right|_q, \ldots, \left.\frac{\partial}{\partial \phi_n}\right|_q \right\} \subset T_qM$

formar una base ortonormal? Si no, ¿en qué casos esto es cierto?

Estoy pensando que, quizás, la situación anterior esté relacionada con la curvatura del espacio-tiempo. Tal vez, algo como "los campos de vectores de coordenadas adjuntos a las coordenadas normales son ortogonales en$U$si y solo si el espacio-tiempo es localmente plano en$U$(el tensor de Riemann desaparece en$U$)" ¿podra celebrar?