Diferencia entre transformaciones de coordenadas y componentes vectoriales

Entonces, he leído que los componentes de los vectores se transforman linealmente entre marcos como

A ′ m = ∂ X ′ m ∂ X v A v .

También he leído que las coordenadas en general no se transforman linealmente entre sistemas de coordenadas, sin embargo, sus diferenciales sí lo hacen:

d X ′ m = ∂ X ′ m ∂ X v d X v .

Lo que no puedo entender es cómo diablos pueden los componentes vectoriales transformarse entre sistemas de coordenadas linealmente cuando las coordenadas no lo hacen. ¿Qué sucede si el vector en cuestión es un vector de posición, entonces los componentes son las coordenadas y luego llegamos a una contradicción? En este punto me confundo.

Además, al derivar la transformación de componentes vectoriales, siempre he visto el ejemplo de la transformación de un cartesiano X , y plano a otro girado en un ángulo θ en relación con el primero. Bueno, en este ejemplo, los componentes del vector se transforman linealmente y puedo verlo completamente, ¡pero también lo hacen las coordenadas!

¡Cualquier ayuda sería muy apreciada!

¿Qué quieres decir con que las coordenadas no se transforman linealmente? La transformación entre las coordenadas del espacio-tiempo es solo una transformación de Lorentz Λ m v .
Transformar de cartesiano a polar esférico no es lineal
Oh, entonces estás diciendo la transformación entre diferentes coordenadas en ese sentido, no en el sentido de "marco de referencia diferente".
Sí, lo siento, debería haberlo dejado más claro.
¿Le importa que le pregunte dónde escuchó que los componentes de un vector se transforman linealmente? Eso no es del todo correcto.
Bueno, la primera ecuación anterior está en todos los libros de texto que he leído sobre relatividad general. ¿No implica eso una suma lineal de los componentes no imprimados?

Respuestas (2)

En un espacio-tiempo curvo general, los vectores solo se definen en el espacio tangente de puntos individuales y, por definición, forman parte de un espacio vectorial. Esto es lo único que tiene sentido ya que no se puede asignar una regla consistente para mapear vectores en un punto a otro en un espacio-tiempo curvo. Esto está relacionado con el hecho de que hay una holonomía no trivial cuando hay una curvatura distinta de cero. Las coordenadas, por otro lado, se definen en parches más grandes del espacio-tiempo.

Las transformaciones generales de coordenadas podrían ser no lineales, pero siempre inducirían una transformación local en vectores dentro de sus propios espacios tangentes. Esto daría como resultado una transformación lineal en los vectores.

El ejemplo del plano cartesiano es confuso porque tiene curvatura cero. Pruebe esto con alguna otra variedad no trivial como una esfera.

Para mayor claridad, debe distinguir entre sistemas de coordenadas y conjuntos de vectores base. La linealidad en la transformación de las componentes del vector es consecuencia de las propiedades de los espacios vectoriales. Las transformaciones de coordenadas son algo diferentes de los cambios de base.

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