¿Cómo se transforma un campo vectorial bajo una transformación de coordenadas infinitesimales?

Si$X^\mu(x)$es un campo vectorial, en términos de coordenadas$\{x^\mu\}$y consideramos un desplazamiento infinitesimal,

$$x^\mu \to x^\mu + v^\mu(x)$$

entonces el campo vectorial$X^\mu$cambia de acuerdo con la derivada de Lie con respecto al vector$v^\mu$, es decir, tenemos eso,

$$\delta X^\mu = \mathcal L_v X^\mu = v^\nu \nabla_\nu X^\mu - X^\nu \nabla_\nu v^\mu$$

simplemente aplicando las reglas de diferenciación de Lie de un tensor. Si la variedad es completamente plana, las derivadas covariantes se degradan a derivadas parciales,

$$\delta X^\mu = v^\nu \partial_\nu X^\mu - X^\nu \partial_\nu v^\mu$$

recuperando la expresión dada por el OP. Darse cuenta de$v^\nu \partial_\nu$es lo mismo que el vector$v^\mu$expresado como una derivación.$^\dagger$Como tal, podemos escribir,

$$\mathcal L_v X = [v,X]$$

con el soporte de mentira, donde$v$y$X$son los campos expresados ​​como derivaciones, es decir, operadores.

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$\dagger$Un vector como derivación puede considerarse como una derivada direccional. En concreto, para un vector$v$y un mapa$f : \mathbb R^n \to \mathbb R$, tenemos eso,

$$D_v f(x) = \frac{d}{d\lambda} f(x + \lambda v) \bigg\rvert_{\lambda = 0} = v^\mu \partial_\mu f (x).$$

Un caso de interés es cuando$v$es un vector a lo largo de una curva, es decir, es el vector tangente a lo largo de un camino, en cuyo caso se puede definir la diferenciación de un mapa a lo largo de un camino en la variedad.