Ley de Gauss y campo eléctrico cerca de una pelota

Para aclarar su confusión, intentemos encontrar el campo aportado por una sección de anillo cerca de la carga de prueba P como se muestra en la figura. En la figura,

$\angle AOP=\theta$y$AB=R$. Dado que el anillo que hemos tomado está cerca de$P$, podemos decir eso$\theta \to 0$.

Ahora, el elemento de área del anillo es$dA=2\pi R^2 \sin(\theta) d\theta = 2\pi R^2 \theta d\theta$y la distancia$PA= R\theta$. Así, el campo aportado por este elemento es ($\sigma$es la densidad de carga superficial):

$$dE= \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\sigma dA}{(PA)^2} \cos(\angle APO)$$ $$= \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\sigma 2\pi R^2 \theta d\theta }{R^2 \theta^2} \cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2})$$ $$=\frac{\sigma d\theta}{4\epsilon_{0}}$$ Esta es una constante y no es infinita.

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Ahora es comprensible por qué tienes esa duda. A medida que el anillo se hace más y más pequeño, la distancia tiende a cero. Pero dado que el anillo se hace más pequeño, la carga en el elemento también disminuye y dado que el campo es proporcional a la relación entre la carga y la distancia al cuadrado, los 2 efectos se cancelan entre sí y hacen que el campo sea constante.