¿Cómo mostrar matemáticamente que el campo eléctrico dentro de un conductor es cero?

Las condiciones de contorno por sí solas no pueden decirle nada acerca de un conductor. ¡Las condiciones de contorno ni siquiera pueden decir qué lado de la superficie tiene el conductor!

Una forma de modelar un conductor es como un conductor óhmico donde hay una constante$\sigma$(diferente a la densidad de carga superficial enumerada en sus condiciones de contorno) y luego afirma la condición óhmica:

$$\vec J=\sigma \vec E$$ y luego puedes tomar la divergencia de ambos lados y obtener $$\sigma\frac{\rho}{\epsilon_0}=\sigma\vec \nabla \cdot \vec E = \vec \nabla \cdot \vec J$$

Donde usamos la ecuación de Maxwell$\dfrac{\rho}{\epsilon_0}=\vec \nabla \cdot \vec E$y también podemos tomar la divergencia de

$$\vec \nabla \times \vec B=\mu_0\vec J+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t}$$ para obtener la ecuación de continuidad

$$\vec \nabla \cdot \vec J=-\epsilon_0\vec \nabla \cdot\frac{\partial \vec E}{\partial t}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}.$$

Esto significa que tenemos

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\vec \nabla \cdot \vec J=-\frac{\sigma}{\epsilon_0}\rho.$$

Entonces, es posible que haya comenzado con una densidad de carga inicial, pero cada lugar dentro del conductor decae exponencialmente con el tiempo.

Y esto se relaciona con la formulación de valor inicial de la Electrodinámica. Comienzas con un campo electromagnético físico real en un momento y luego evoluciona de acuerdo con

$$\frac{\partial \vec B}{\partial t}=-\vec\nabla \times \vec E, \text{ and}$$

$$\frac{\partial \vec E}{\partial t}=\frac{1}{\epsilon_0}\left(\frac{1}{\mu_0}\vec\nabla \times \vec B-\vec J\right)$$

Entonces, los campos en un momento posterior son una consecuencia de los campos en un momento anterior (y el actual) y las ecuaciones de evolución anteriores.

Así que para un material óhmico sabemos$\vec J$por lo que podemos evolucionar los campos porque las ecuaciones de evolución son solo Maxwell resueltas para las tasas de cambio de tiempo.

Así que tenías una distribución de carga inicial y un campo eléctrico inicial. Podrían haber sido cero, podrían haber sido distintos de cero.

He visto muchos argumentos "conceptuales" de que si hubiera un campo, las cargas se moverían y producirían un campo que cancelaría este.

Si piensa en la estática como el límite de tiempo largo de la dinámica, entonces no tiene que volverse conceptual. Un material óhmico literalmente tiene una corriente distinta de cero donde hay un campo eléctrico distinto de cero. Pero esa corriente hace que la carga desaparezca, puede imaginar lugares donde la densidad de carga es positiva y negativa inicialmente y las líneas de corriente del campo eléctrico inicial podrían conectar algunos de esos y/o puede conectar esos lugares a la superficie. Y dado que la corriente apunta de la misma manera, podemos ver que esta densidad de carga que disminuye exponencialmente se debe a que las densidades de carga opuestas se cancelan entre sí a medida que la carga fluye o el desequilibrio de carga se mueve hacia la superficie, lo que aumenta la densidad de carga de la superficie con el tiempo.

La densidad de carga en la superficie puede cambiar de una manera diferente a la disminución exponencial con el tiempo. ¿Por qué? Porque$\sigma$(de la condición óhmica) no es constante a lo largo de la superficie en el límite del conductor. De hecho, el límite del conductor podría tener un vacío con$\vec J=\vec 0$Por otro lado.

¿Podemos argumentar que el campo eléctrico es cero en el interior? Si y no. Por un lado, si afirmamos que parte de la estática es$\vec J=\vec 0$entonces nosotros tenemos$\vec E=\vec 0$de inmediato. Pero eso es más como asumir. pero si permites$\vec J\neq \vec 0$entonces su conductor podría tener una densidad de carga cero en todas partes pero tener una corriente constante siempre que el límite del conductor reciba la corriente que necesita para esa corriente constante.

Es totalmente una solución válida de Maxwell tener un alambre infinito cilíndrico apuntando en el$\hat z$dirección con un uniforme distinto de cero$\vec J$apuntando en el$\hat z$dirección dentro del alambre infinito cilíndrico.

Entonces, siempre que tenga un contraejemplo, sabrá que necesita fortalecer su hipótesis. Esa situación puede tener un campo eléctrico estático que no cambia, pero tiene una corriente distinta de cero.

Necesitas usar la ley de Ohm :$J = \sigma E$que debe agregarse a las ecuaciones de Maxwell como una observación general, como se explica en esta respuesta .

Entonces puede concluir que el campo eléctrico es cero en un conductor para:

• conductor perfecto donde$\rho = 1/\sigma = 0$y$J$es finito
• caso estático donde$J = 0$y$\sigma$es finito

En el caso electrostático, según las ecuaciones de Poisson, la ecuación del campo eléctrico para un espacio de cavidad vacío$\mathcal V$sin cargas electricas$\rho (\vec r) = 0$y potencial electrostático$\Phi (\vec r)$en la posición$\vec r$es:

$$\begin{equation} \nabla^2 \Phi = \frac{\rho}{\epsilon} = 0. \label{poisson} \tag{1} \end{equation}$$ Si tomamos la integral del cuadrado del campo eléctrico sobre el volumen de la cavidad: $$\begin{equation} I = \int_{\mathcal V} d V \; | \nabla \Phi |^2 = \int_{\mathcal V} d V \; \left[ \vec \nabla . \left( \Phi \vec \nabla \Phi \right) - \Phi \nabla^2 \Phi \right]. \label{efint} \tag{2} \end{equation}$$ De acuerdo a ( $\ref{poisson}$), el segundo término en ( $\ref{efint}$) puede desaparecer, por lo que podemos escribir: $$\int_{\mathcal V} d V \; | \nabla \Phi |^2 = \int_{\mathcal V} d V \; \vec \nabla . \left( \Phi \vec \nabla \Phi \right).$$ Ahora, usando el teorema de la divergencia de Gauss, esta integral de volumen se puede reescribir en una integral de límite de superficie: $$\begin{equation} \int_{\mathcal V} d V \; | \nabla \Phi |^2 = \int_{\mathcal S} d \vec S . \left( \Phi \vec \nabla \Phi \right). \label{sint} \tag{3} \end{equation}$$ Dado que estamos hablando de una cavidad en un conductor, el potencial electrostático en todas partes del material conductor, incluidas las paredes límite de la cavidad, es uniformemente constante, es decir.$\Phi (\vec r) = \Phi_s \ \forall \ \vec r \in \mathcal S = \partial \mathcal V$. Por lo tanto, la integral de superficie de la cavidad se puede reescribir como: $$\begin{equation} \int_{\mathcal S} d \vec S . \left( \Phi \vec \nabla \Phi \right) = \Phi_s \int_{\mathcal S} d \vec S . \left( \vec \nabla \Phi \right) = \Phi_s \int_{\mathcal V} d V \; \nabla^2 \Phi. \label{nsint} \tag{4} \end{equation}$$ Así, aplicando la ecuación de Poisson ( $\ref{poisson}$) de nuevo, tenemos $$\int_{\mathcal V} d V \; | \nabla \Phi |^2 = \Phi_s \int_{\mathcal V} d V \; \nabla^2 \Phi = 0,$$ y desde$| \nabla \Phi |^2 \geq 0$, podemos decir que la única manera para la integral$I$desaparecer es $$\begin{equation} \boxed{\vec E = \vec \nabla \Phi (\vec r) = 0.} \label{nullef} \tag{5} \end{equation}$$

la ley de Ohm es

$$\begin{equation}J=\sigma E \end{equation}$$

Sustituyendo la ley de Ohm en$\nabla . E=\frac{\rho}{\epsilon}$da

$$\nabla .J=\frac{\sigma \rho}{\epsilon}$$

La ecuación de continuidad (conservación de carga) es

$$\nabla . J=- \frac{\partial\rho}{\partial t}$$

Igualando las dos ecuaciones anteriores se obtiene

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\frac{\sigma \rho}{\epsilon}$$ La solución a esta ecuación es simplemente

$$\rho = \rho (0)\exp(-\frac{\sigma t }{\epsilon})$$ dónde $\rho (0)$es la densidad de carga en el tiempo, t=0.

Hemos derivado la ecuación que describe cómo la densidad de carga dentro de un material varía con el tiempo. Para un conductor, la conductividad,$\sigma$es grande y por lo tanto$\rho$tenderá exponencialmente (y rápidamente) a cero con el tiempo, DENTRO del conductor. Por tanto, dentro de un conductor, podemos escribir la primera ecuación de Maxwell como:

$$\nabla . E =\frac{\rho}{\epsilon}=0$$

La ley de Gauss nos dice que

$$\int E.dS=\int (\nabla . E) dV=0 (from above)$$ [ver https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_law]

Dado que la ley de Gauss debe cumplirse para cualquier superficie cerrada dentro del conductor, concluimos que E debe ser idénticamente cero dentro del conductor.

Personalmente, usaría el principio de acción mínima: el punto en el que la densidad de carga permanece estática será el punto en el que el campo tiene una energía mínima. Podemos calcular la energía de un campo eléctrico con la siguiente fórmula:

$$E=\frac{1}{2}\int \varepsilon|\mathbf{E}|^2dV$$

Si asumimos un conductor homogéneo, entonces podemos decir:

$$E=\frac{\varepsilon}{2}\int|\mathbf{E}|^2dV$$

Ahora llegamos a mi forma favorita de ver esto. Digamos que tenemos dos números:$n$y$m$. Queremos minimizar la suma de los cuadrados de estos dos, cuando$m+n=o$. Ahora, primero supongamos que nuestra solución vendrá cuando los dos sean iguales:

$$n=m=\frac{o}{2}$$

Y así podemos decir que:

$$m^2+n^2=2\frac{o^2}{4}=\frac{o^2}{2}$$

Mi hipótesis es que sumando un número arbitrario a un valor y restándolo del otro, la suma de sus cuadrados aumentará. Y por eso buscamos:

$$\Delta = \left(m-\delta\right)^2+\left(n+\delta\right)^2-\left(m^2+n^2\right)$$

Expandiendo los paréntesis e igualando$m$y$n$, se puede demostrar que el cambio es siempre positivo.

Esto se puede hacer entonces análogo a la fórmula para el campo eléctrico. Si reduce la contribución al campo eléctrico de una sola región al reducir su carga, entonces necesita agregar esa carga en otro lugar, lo que genera un efecto mayor. (Lo siento, esto está hecho de memoria, de una prueba que hice hace mucho tiempo, ¡así que pido disculpas si lo estropeé todo!)

Básicamente, la energía mínima para el medio es la energía donde la distribución del campo eléctrico es uniforme.