Condición suficiente para la irreductibilidad del polinomio homogéneo (Ejercicio I. 5.9 en Hartshorne)

De la geometría algebraica de Hartshorne. El ejercicio I. 5.9 establece:

Dejar$f\in k[x,y,z]$Sea un polinomio homogéneo, sea$Z(f)\subseteq \mathbf{P}^2$Sea el conjunto algebraico definido por$f$, y supongamos que por cada$P\ \in Z(f)$, al menos uno de$(\partial f /\partial x)(P)$,$(\partial f /\partial y)(P)$,$(\partial f /\partial z)(P)$es distinto de cero. Muestra esa$f$es irreductible.

Hartshorne da una pista para usar el Ejercicio I. 3.7., que establece,

Si$Y \in \mathbf{P}^n$es una variedad proyectiva de dimensión$\geq 1$, y si$H$es una hipersuperficie, entonces$Y \cap H \neq \emptyset$.

Intenté lo siguiente:

Suponer que$\forall P \in Z(f)$,$(\partial f /\partial x)(P)$,$(\partial f /\partial y)(P)$,$(\partial f /\partial z)(P)$no son todos cero. Esto significa que$Z(f) \cap Z(f_x, f_y, f_z) = \emptyset$. Por el ejercicio 3.7,$Y \cap H \neq \emptyset$para$Y$una variedad y$H$aa hipersuperficie (es decir, el conjunto cero de un solo polinomio irreducible). Si$A$es cualquier conjunto algebraico, entonces$A$se descompone en componentes irreducibles,

$A=W_1 \cup \dots \cup W_q$.

Entonces$A \cap H=(W_1 \cup \dots \cup W_q) \cap H = [W_1 \cap H]\cup\dots\cup[W_q \cap H]$. Por el ejercicio 3.7, cada$[W_i \cap H] \neq \emptyset$, por eso$A \cap H \neq \emptyset$.

Así que si$Z(f) \cap Z(f_x,f_y,f_z)=\emptyset$, entonces desde$Z(f_x,f_y,f_z)$es un conjunto algebraico,$Z(f)$no puede ser una hipersuperficie. Eso es,$f$no puede ser irreductible.

Obviamente, esto está muy mal, pero incluso en un argumento tan simple no puedo precisar por qué. Por favor ayuda. No estoy buscando soluciones correctas no relacionadas con este ejercicio. Solo quiero entender el error en el argumento anterior. Gracias.

Editado por$f_x$Quiero decir$\partial f / \partial x$, el polinomio que es la derivada parcial de$f$con respecto a$x$.