Las ecuaciones de Maxwell a partir de formas diferenciales

Encontré lo siguiente en algunas notas de clase que tomé hace algún tiempo:

$$\mathbf{E}=-\text{grad}\Phi-\partial_t\mathbf{A}\\ \mathbf{B}=\mathrm{rot}\mathbf{A}$$

Estos son los campos electromagnéticos expresados ​​en forma potencial$A^{\mu}=(\Phi,\mathbf{A})$.

Ahora me gustaría derivar las ecuaciones de Maxwell usando formas diferenciales. El potencial es un$1$-forma, el tensor de campo electromagnético$F_{\mu\nu}:=(dA)_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$es un$2$-forma. Porque$d^2=0$,$df=0$, por lo que las ecuaciones de Maxwell homogéneas se satisfacen automáticamente. Los no homogéneos son

$$\partial_\nu F^{\nu\mu}=j^\mu$$

Distinguir entre$\mu=0$y$\mu=i$, esto se traduce en

$$\begin{align} \rho = j^0 &= \partial_\nu(\partial^\nu A^0-\partial^0 A^\nu)\\ &= \partial_j\partial^j A^0- \partial_0\partial^j A^j\\ & \\ j^i &= \partial_\nu(\partial^\nu A^i-\partial^i A^\nu)\\ &= \partial_0\partial^0 A^i- \partial_0\partial^i A^0 + \partial_j\partial^j A^i- \partial_j\partial^i A^j\\ &= \partial_0(\partial^0 A^i-\partial^i A^0) + \partial_j\partial^j A^i- \partial^i\partial_j A^j \\ \end{align}$$

entonces tenemos

$$\begin{align} \rho &=\nabla(\color{red}{+}\nabla\Phi-\partial_t\mathbf{A}) \\ \mathbf{j} &=\partial_t(\partial^t\mathbf{A}-\nabla\Phi) + (\nabla^2)\mathbf{A}-\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})\\ &=\partial_t(\color{red}{-}\nabla\Phi+\partial^t\mathbf{A}) \color{red}{-}\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) \end{align}$$

Pero las ecuaciones de Maxwell no homogéneas son

$$\begin{align} \rho =\nabla\mathbf{E} &= \nabla(\color{red}{-}\nabla\Phi-\partial_t\mathbf{A}) \\ \mathbf{j} =-\partial_t\mathbf{E}+\mathrm{rot}\mathbf{B} & =\partial_t(\color{red}{+}\nabla\Phi+\partial^t\mathbf{A}) \color{red}{+} \nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) \end{align}$$

Así que me equivoqué en algunas señales, pero no puedo ver por qué. Pensé que tal vez obtuve algunos signos incorrectos debido a la combinación de algunos índices superior e inferior (debido a la métrica de Minkowski), pero dado que los signos incorrectos son principalmente con el$\Phi$, dudo que esa sea la razón.

¿Alguna pista?