Ecuaciones de Maxwell en 2+1 D

Tengo un problema con las ecuaciones de Maxwell en (2+1) dimensiones usando forma diferencial. Siguiendo a J. Baez "Gauge Fields, Knots and Gravity" página 93 (o cualquier otro libro), las ecuaciones son

d F = 0 ∗ d ∗ F = j

con j = − ρ d t + j que es una forma 1, y F es el campo tensor electromagnético (forma 2). Estas ecuaciones dan las ecuaciones de Maxwell correctas en (3+1) dimensión pero en (2+1) hay una ecuación diferente con un signo menos

división mi = − ρ .

para detallar las cosas

F = B d X ∧ d y − mi X d t ∧ d X − mi y d t ∧ d y ∗ F = B d t + mi X d y − mi y d X d ∗ F = − ( ∂ t mi y − ∂ X B ) d t ∧ d X + ( ∂ t mi X − ∂ y B ) d t ∧ d y + ( ∂ X mi X + ∂ y mi y ) d X ∧ d y ∗ d ∗ F = ( ∂ X mi X + ∂ y mi y ) d t + ( ∂ t mi X − ∂ y B ) d X + ( ∂ t mi y − ∂ X B ) d y

lo que implica

división mi = − ρ .

¿POR QUÉ, hay un signo negativo?

Respuestas (1)

Hay algo mal con las permutaciones de signos en el cálculo del operador estrella de Hodge. Si

F = B + mi ∧ d t ,

entonces, en 2D,

F = B d X ∧ d y + mi X d X ∧ d t + mi y d y ∧ d t ,

como tu mismo escribiste. Ahora, tomemos nuestra estrella Hodge inicial como ⋆ d X ∧ d y = d t . Esto significa que ⋆ d t ∧ d X = d y y ⋆ d y ∧ d t = d X , por permutación cíclica (regla de la mano derecha, y aquí está tu error, creo). Esto significa que

⋆ F = B d t − mi X d y + mi y d X ,

que no está de acuerdo con el signo de lo que tienes. De hecho, es fácil ver que

( ⋆ d ⋆ F ) ( ∂ t ) = − ( ∂ X mi X + ∂ y mi y ) ,

que fija el signo que implica ∇ ⋅ mi = ρ .

La fórmula para el operador de Hodge que tengo es ∗ d X ∧ d t = ϵ           2 10 d y = − ϵ 102 d y = d y . Es por eso que estoy recibiendo + mi X d y
Bien si quieres ⋆ d X ∧ d t = d y , entonces necesariamente debe tener ⋆ d y ∧ d X = d t (cambio de signo) y ⋆ d t ∧ d y = d X , que corrige su signo una vez más. Está utilizando duales de Hodge incorrectos en el análisis ⋆ d ⋆ F .
Gracias. Si tiene el Nakahara (Geometría, Topología y física), me podría decir si su fórmula 7.172 es incorrecta, porque esta es la que estoy usando
No, Nakahara no es incorrecto. Es solo complicar algo muy simple. En mi opinión, el artículo de Wikipedia sobre el dual de Hodge es mucho mejor que el de Nakahara. Creo que probablemente estés haciendo algo mal con tus signos al usar la fórmula de Nakahara, eso es todo.
@anubis Si no respondí a su pregunta, dígamelo y elaboraré aún más. Si lo hice, y creo que este es el caso, configure mi publicación como una respuesta para que este asunto pueda cerrarse.
Disculpa que no respondí antes. ¿Podría dar más detalles sobre la fórmula utilizada por Nakahara, porque la idea para mí es usar estos cálculos en el espacio-tiempo curvo y necesito usar alguna fórmula? Lo que no entiendo es que la fórmula que escribió funciona en 4D pero no en 3D, mientras que él dice que es correcta para cualquier D. Y es una fórmula bastante sencilla, por lo que no parece que haya mezclado algunos índices.
La respuesta a esto se puede encontrar en el artículo de Wikipedia mencionado anteriormente. Consulte en.wikipedia.org/wiki/…
Estoy de acuerdo en que esta fórmula funciona. Pero dijiste "Nakahara no es incorrecto". Ambos no pueden ser correctos. Así que déjame preguntar de nuevo. ¿La fórmula de Nakahara es incorrecta?
Finalmente, creo que tengo mi respuesta. La ecuación fundamental debe ser d ∗ F = ∗ j y no ∗ d ∗ F = j que en 4D para una variedad lorentziana da ∗ d ∗ F = j porque ∗ 2 = 1 pero en 3D ∗ 2 = − 1 para la firma de Lorentzian, lo que implica que tenemos ∗ d ∗ F = − j . Porque veo que incluso la última ecuación no fue correcta, necesitamos − ∂ t mi + . . . = j
Me alegro de que lo hayas hecho =)
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