Continuación analítica numérica para la función de Green

Existe una variedad de opciones para esta tarea, pero permítanme enfatizar primero que este es un tema extremadamente complicado y difícil que aún es objeto de investigación actual porque la continuación analítica es un problema mal planteado .

1) La continuación analítica 'analítica' se puede realizar cuando la función$f(\mathrm i\omega)$bajo consideración es una función racional de$\mathrm i\omega$. Entonces

$$f(\mathrm i\omega)=\frac{1}{\mathrm i\omega}$$ se puede continuar hasta el plano complejo $\mathrm i\omega \rightarrow z\in\mathbb C$mientras $$f(\mathrm i\omega)=\frac{e^{\mathrm i\omega\beta}}{\mathrm i\omega}$$ no es una función racional de $\mathrm i\omega$y hacer el reemplazo aquí es un error. En cambio, uno necesita evaluar primero la exponencial y encontrar $e^{\mathrm i\omega\beta}=\pm 1$dependiendo de las estadísticas.

2) Directamente inferido de esta regla de reemplazo viene la expansión de una función en una serie finita de Laurent

$$f(z)=\sum^{m_2}_{n=m_1} a_n z^n,\;\; m_1,m_2\in\mathbb Z$$ donde los coeficientes pueden calcularse a partir de los valores numéricos conocidos en $m_2-m_1$Energías Matsubara.

3) Uno de los métodos más antiguos para hacer una continuación analítica numérica es la aproximación de Pade. La función en cuestión se expande en una fracción continua

$$f(z)=b_0+\frac{a_1z}{1-\frac{a_2z}{1-\frac{a_3z}{1-...}}}.$$ Los coeficientes se pueden calcular a partir de una tabla de Pade, consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Pad%C3%A9_table

El método 1) es exacto y distinto de los cálculos casi triviales de poco valor práctico. 2) y 3) sufren efectos de corte debido a la cantidad limitada de puntos de Matsubara disponibles en los que el valor de la función también puede tener un error numérico, como es el caso de los datos de los cálculos de Quantum Monte Carlo. Pero, de hecho, la continuación analítica es muy volátil hacia los efectos de corte y ruido . Aquí es donde deben tenerse en cuenta las consideraciones físicas .

Para abordar el corte se puede aproximar la cola (grande$\mathrm i\omega$o respectivamente$z$expansión) de la función con una forma analítica que a menudo se puede calcular exactamente a partir de los muchos problemas corporales o necesidades físicas generales, por ejemplo, la función de 1-Partícula Verde de un sistema fermiónico siempre tiene la forma$\frac{1}{z}+\frac{a_1}{z^2}+...$. La cola se puede usar para calcular un número arbitrario de coeficientes de expansión, pero tenga en cuenta que el interesante espectro de baja energía de su sistema está fuertemente influenciado por pequeñas energías de Matsubara y menos por la cola, por lo que al calcular una gran cantidad de coeficientes de la cola uno gana poco o nada. El tratamiento del ruido estadístico es aún más delicado que el corte y la razón por la que mucha gente trata de evitar el cálculo en el eje de Matsubara por completo .

4) Un método destacado para datos ruidosos es el método de máxima entropía sobre el que puede leer más aquí http://arxiv.org/pdf/1001.4351v1.pdf donde también encontrará referencias a técnicas alternativas.