¿En qué se diferencian las transformaciones de contacto de las transformaciones canónicas?

En la segunda edición (¡pero no en la tercera!) de Goldstein, Classical Mechanics, la palabra transformación de contacto aparece en su índice, y hay una nota al pie de página de 13 líneas en la p. 382, que (entre otras cosas) establece

[...] En gran parte de la literatura de física, el término transformación de contacto se usa como sinónimo completo de transformación canónica, [...]

Con respecto a la transformación canónica , consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

Las transformaciones de contacto fueron descubiertas por Sophus Lie en el siglo XIX. Dentro de este contexto, una transformación de contacto infinitesimal homogénea (independiente del tiempo):

$$\delta q^i = \frac{\partial H}{\partial p_i}\delta t,\qquad \delta p_i = - \frac{\partial H}{\partial q^i}\delta t$$ es una transformación de coordenadas que deja el sistema de ecuaciones: $$\Delta = \begin{vmatrix} dp_1 ,\dots,dp_n\\ p_1,\dots,p_n\\ dq^1 ,\dots,dq^n \end{vmatrix} =0,\qquad \sum_ip_idq^i =0$$

invariante [1]. En este contexto, podemos intercambiar contacto con canonical según la respuesta de Qmechanic.

En el contexto de la geometría diferencial, hacemos una distinción entre transformaciones simplécticas en$dim(2n)$variedades simplécticas y transformaciones de contacto en$dim(2n+1)$colectores de contacto. Esto extiende la formulación independiente del tiempo a un espacio de fase extendido (dependiente del tiempo). [2] Ahora debemos tener cuidado en cómo usamos la frase contacto.

Tanto en marcos simplécticos como de contacto, podemos definir una estructura canónica,

$$\theta = pdq, \qquad \Theta = pdq-Hdt$$ respectivamente, que se vuelve invariante bajo sus respectivas transformaciones.

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[1] Las transformaciones infinitesimales de contacto de la mecánica. La mentira de Sophus. 1889. Traducido por DH Delphenich.

[2] https://arxiv.org/pdf/1604.08266.pdf , Contacto Hamiltonian Mechanics, Alessandro Bravettia, Hans Cruzb, Diego Tapias, 2016