Las definiciones de consecuencia lógica de Kees Doets

todos, estoy leyendo la teoría del modelo básico de Kees Doets (que se puede descargar gratuita y legalmente desde https://web.stanford.edu/group/cslipublications/cslipublications/Online/doets-basic-model-theory.pdf ). Hay dos definiciones diferentes de consecuencia lógica en él. El oficial ($\vDash$) está en la p.6:

$\Sigma$es un conjunto de fórmulas, la notación$\Sigma \vDash \phi$--$\phi$se sigue lógicamente de$\Sigma$-- se utiliza en el caso de que$\phi$se satisface con una asignación en un modelo siempre que todas las fórmulas de$\Sigma$son.

El otro, 'no oficial' ($\vDash ^*$), está en el Ejercicio 8, que está en la p. 7:

A veces, la consecuencia lógica se define por:$\Sigma \vDash ^* \phi$si y si$\phi$es cierto en todos los modelos de$\Sigma$.

Me molesta cómo estas dos definiciones son diferentes. De hecho, esto es exactamente lo que pregunta el Ejercicio 8:

Demuestra que si$\Sigma \vDash \phi$, entonces$\Sigma \vDash ^* \phi$, y dé un ejemplo que muestre que la implicación inversa puede fallar. Demuestre que si todos los elementos de$\Sigma$son oraciones, entonces$\Sigma \vDash \phi$si y si$\Sigma \vDash ^* \phi$.

Permítanme decir lo que pienso sobre la primera definición de consecuencia lógica, es decir$\vDash$. Me parece que

$\phi$se satisface con una asignación en un modelo siempre que todas las fórmulas de$\Sigma$son.

solo significa

siempre que todas las fórmulas de$\Sigma$se satisfacen con una asignación en un modelo,$\phi$se satisface con la misma asignación en el mismo modelo.

lo cual, parece significar

para todos los modelos$\mathcal{A}$, para todas las asignaciones$\alpha$, para todos$\psi \in \Sigma$, si$\mathcal{A} \vDash \psi [\alpha]$, entonces$\mathcal{A} \vDash \phi [\alpha]$.

creo que tengo razón$\vDash$. Pero estoy menos seguro acerca de$\vDash ^*$. de la pág. 6 del libro,'$\mathcal{A}$es un modelo de$\phi$' es solo:

$\mathcal{A} \vDash \phi$

lo que significa

$\phi$está satisfecho en$\mathcal{A}$por cada encargo.

Por lo tanto, el lado derecho de la definición de$\vDash^*$

$\Sigma \vDash ^* \phi$si y si$\phi$es cierto en todos los modelos de$\Sigma$.

es solo

Para todos$\mathcal{A}$, para todos$\psi \in \Sigma$, si$\mathcal{A}\vDash\psi$, entonces$\mathcal{A} \vDash \phi$.

Sin embargo, si lo que$\mathcal{A} \vDash \phi$significa es solo eso$\phi$está satisfecho en$\mathcal{A}$por cada asignación, entonces (y tal vez es donde he cometido un error crucial que no entiendo) no veo por qué no se puede traducir también como

Para todos$\mathcal{A}$, para todas las asignaciones$\alpha$, para todos$\psi \in \Sigma$, si$\mathcal{A}\vDash\psi [\alpha]$, entonces$\mathcal{A} \vDash \phi [\alpha]$.

que es exactamente idéntico a la definición de$\vDash$!

Este problema elemental me molesta bastante y espero que alguien pueda decir qué error he cometido. Muchas gracias de antemano.