Estoy tratando de mostrar la relación entre la consecuencia lógica de Gamma y ser cierto en cada modelo de Gamma.

En este tipo de problemas tenemos que usar toda la definición: qué significa para una fórmula$A$ser verdad en un modelo$M$? que por cada$\phi$tenemos eso$M, \phi \vDash A$($\phi$ satisface $A$en$M$).

Para 1), si$M$es un modelo de$\Gamma$, esto significa que: por cada$B \in \Gamma$y cada$\phi$, tenemos:$M,\phi \vDash B$.

Pero$\Gamma \vDash A$, es decir$M,\phi \vDash A$, para cada$\phi$. Y esto vale para cada$M$ese es un modelo de$\Gamma$.

De este modo:

para cada modelo de$\Gamma$y cada$\phi$tenemos$M,\phi \vDash A$.

2) ¿Qué pasa con las oraciones ?

Ahora la propiedad clave es que si$B$es una oración y$M$es un modelo de$B$, entonces$M,\phi \vDash B$, para cada$\phi$.

Dejar$M$un modelo de$\Gamma$: esto significa que$M,\phi \vDash \Gamma$, para cada$\phi$(porque todas las fórmulas en$\Gamma$son oraciones).

Pero$A$es cierto en el mismo modelo de$\Gamma$, es decir$M,\phi \vDash A$, por muy$\phi$y cada$M$ese es un modelo de$\Gamma$.

De este modo:

$\Gamma \vDash A$.

3) es un contraejemplo que muestra que la condición sobre$\Gamma$(todas las fórmulas en$\Gamma$son oraciones) es necesario.

Por 1) tenemos que$\forall x Rx$es cierto en todos los modelos de$Rx$, porque si$M$es un modelo de$Rx$esto significa que$M, \phi \vDash Rx$, para cada$\phi$.

Pero así también cada$x$-variante de$\phi$satisfará$Rx$, y por lo tanto$M,\phi \vDash \forall xRx$.

Considere ahora una interpretación simple usando$\mathbb N$como dominio e interpretación$Rx$como$(x=0)$.

Dejar$\phi$tal que$\phi(x)=0$; claramente$\mathbb N, \phi \vDash (x=0)$.

Pero$\mathbb N$no es un modelo de$(x=0)$, porque no todos$\phi$lo satisface.

y obviamente$\forall x (x=0)$no es cierto en$\mathbb N$.

De este modo:

$(x=0) \nvDash \forall x (x=0)$.