¿Las componentes perpendiculares son especiales en los vectores?

Voy a suponer que aún no has estudiado álgebra lineal, lo siento si parece que te estoy hablando mal en algún momento.

Tienes razón en que podemos dividir un vector en dos componentes en el plano. Esto se debe a que dos vectores linealmente independientes (no paralelos ni antiparalelos) forman una base (un conjunto de vectores a partir de los cuales puede "construir" otros vectores mediante la suma y la multiplicación escalar) para$\mathbb{R}^2$(y en general n vectores para$\mathbb{R}^n$). Uno puede "hacer física" en cualquiera de estos sistemas de coordenadas, pero como dijiste, los mutuamente perpendiculares (ortogonales) son mucho más fáciles de calcular. Una gran parte de esto se debe a la "independencia". En la mecánica newtoniana a menudo usamos la idea de que el movimiento en x y en y (y en z,$x_4,x_5, \dots$) son independientes del movimiento en las otras (es decir, podemos aplicar las leyes de newton a cada fuerza por separado).

Ahora imagina que tuviéramos un conjunto de vectores de base no ortogonal, por ejemplo, el eje x y el vector en sentido antihorario en$45^\circ$. Si uno toma un punto arbitrario, entonces no puede moverlo a lo largo de un eje sin moverlo también a lo largo del otro. Por lo tanto, la independencia del movimiento desaparece y, en general, terminaríamos con un sistema de ecuaciones diferenciales mucho más complicado que en el caso ortonormal.

Esta idea también entra en juego en un nivel superior cuando se estudian las series de Fourier. Consiste en escribir una función en términos de exponenciales complejas. Esto se debe a que las exponenciales complejas forman una base ortogonal para$L^2$, el espacio de funciones integrables absolutamente cuadradas. El espacio$L^2$es muy importante, ya que uno de los axiomas de la mecánica cuántica es que todas las funciones de onda pertenecen a ella (y además son vectores unitarios en ella).

De hecho, cualquier espacio de Hilbert (un espacio donde las secuencias convergentes permanecen en el espacio y el espacio tiene un "producto escalar") admite una base ortogonal. Esta es una consecuencia del Lema de Zorn (un enunciado equivalente al axioma de elección). Preguntas como estas pertenecen al análisis funcional, el primo dimensional infinito del álgebra lineal.

EDITAR: Esto es en respuesta al comentario que pide explicar más la "independencia".

Llamemos a nuestro marco de referencia ortogonal original$S$y nuestra nueva base$S^\prime$. Las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas de diferencia$\xi_S, \xi_{S^\prime}$estos están relacionados por

$$\begin{align} \xi_{S^\prime} = A\xi_S \\ A = (\begin{smallmatrix} a&b\\ c&d \end{smallmatrix}) \end{align}$$

Así que si$\xi_S = (x, y), \xi_{S^\prime} = (\alpha, \beta)$entonces tendríamos eso

$$\begin{align} ax + by = \alpha \\ cx + dy = \beta \end{align}$$ Entonces, si nos movemos a lo largo de la $\alpha$o $\beta$eje, entonces en general tanto el $x$y $y$cambiará. En el caso anterior $x = \alpha$, entonces $c\alpha + dy = \beta$. Así que si vamos por el $\beta$-eje, también debemos cambiar el $\alpha = x$y el $y$coordinar. Así que no podemos avanzar $\beta$sin avanzar $\alpha$.