Lagrangiano para partícula puntual sin masa relativista

Question

Lagrangiano para partícula puntual sin masa relativista

acción
Física
geodésicas
relatividad especial
formalismo lagrangiano
principio variacional

346699

Para una partícula masiva relativista, la acción es

\begin{aligned} S = & - {metro}_{0} \int d s \\ = & - {metro}_{0} \int d λ \sqrt{{gramo}_{m v} {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}^{v}} \\ = & \int d λ L, \end{aligned}

$\begin{align}S ~=~& -m_0 \int ds \cr ~=~& -m_0 \int d\lambda ~\sqrt{ g_{\mu\nu} \dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}} \cr ~=~& \int d\lambda \ L,\end{align}$ dónde

d s

$ds$ es el tiempo propio de la partícula;

λ

$\lambda$ es el parámetro de la trayectoria; y usamos la firma Minkowski

(+, -, -, -)

$(+,-,-,-)$ . Entonces, ¿cuál es la acción de una partícula sin masa?

Jim

Una partícula sin masa es necesariamente relativista; viaja a la velocidad de la luz. Como tal, es un rayo nulo y realmente no se puede decir que

d s = d τ

$ds=d\tau$ . Tampoco se puede hablar del tiempo propio de una partícula sin masa. Todo lo que puede hacer es volver a trabajar el Lagrangiano de su teoría clásica hasta que tenga un término cinético para un campo y ningún término de masa, luego llame a ese campo una partícula sin masa y ese es su Lagrangiano

Respuestas (4)

Lagrangiano para partícula puntual sin masa relativista

Una partícula sin masa es necesariamente relativista; viaja a la velocidad de la luz. Como tal, es un rayo nulo y realmente no se puede decir que $ds=d\tau$ . Tampoco se puede hablar del tiempo propio de una partícula sin masa. Todo lo que puede hacer es volver a trabajar el Lagrangiano de su teoría clásica hasta que tenga un término cinético para un campo y ningún término de masa, luego llame a ese campo una partícula sin masa y ese es su Lagrangiano

qmecanico · Answer 1

La acción de raíz cuadrada de OP no es diferenciable a lo largo de direcciones nulas/similares a la luz , lo que lo hace inadecuado para una partícula sin masa. Así que tenemos que pensar en algo más. Una ecuación de movimiento para una partícula puntual relativista escalar sin masa en una variedad lorentziana $(M,g)$ es que su tangente debe ser nula/ligera
$\begin{matrix} (A) & {\dot{X}}^{2} := {gramo}_{m v} (X) {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}^{v} \approx 0, \end{matrix}$ $\dot{x}^2~:=~g_{\mu\nu}(x)~ \dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}~\approx ~0, \tag{A}$ donde el punto denota diferenciación wrt. el parámetro world-line (WL) $\tau$ (que no es el momento adecuado). [Aquí el $\approx$ símbolo significa igualdad módulo EOM.] Esto sugiere que una posible acción es $\begin{matrix} (B) & S [X, λ] = \int d τ L, L = λ {\dot{X}}^{2}, \end{matrix}$ $S[x,\lambda ]~=~\int\! d\tau ~L, \qquad L~=~\lambda ~\dot{x}^2, \tag{B}$ dónde $\lambda(\tau)$ es un multiplicador de Lagrange . Esta respuesta (B) puede parecer solo un truco barato. Sin embargo, tenga en cuenta que es posible mediante métodos similares dar un principio de acción general que funcione tanto para partículas puntuales masivas como sin masa de manera unificada, cf. por ejemplo, ref. 1 y ec. (3) en mi respuesta Phys.SE aquí .
Más importante aún, las ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) correspondientes para la acción (B) son la condición nula/similar a la luz
$\begin{matrix} (C) & 0 \approx \frac{d S}{d λ} = {\dot{X}}^{2}, \end{matrix}$ $0~\approx ~\frac{\delta S}{\delta\lambda}~=~\dot{x}^2, \tag{C}$ y las ecuaciones geodésicas $\begin{matrix} (D) & 0 \approx - \frac{1}{2} {gramo}^{σ m} \frac{d S}{d X^{m}} = \frac{d (λ {\dot{X}}^{σ})}{d τ} + λ Γ_{m v}^{σ} {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}^{v}, \end{matrix}$ $0~\approx ~-\frac{1}{2}g^{\sigma\mu}\frac{\delta S}{\delta x^{\mu}} ~=~\frac{d(\lambda\dot{x}^{\sigma})}{d\tau} +\lambda\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu},\tag{D}$ como deberían ser.
La acción (B) es invariante bajo reparametrización WL
$\begin{matrix} (MI) & \begin{aligned} τ^{'} = & F (τ), d τ^{'} = d τ \frac{d F}{d τ}, \\ {\dot{X}}^{m} = & {\dot{X}}^{' m} \frac{d F}{d τ}, λ^{'} = λ \frac{d F}{d τ} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \tau^{\prime}~=~&f(\tau), \qquad d\tau^{\prime} ~=~ d\tau\frac{df}{d\tau},\cr \dot{x}^{\mu}~=~&\dot{x}^{\prime\mu}\frac{df}{d\tau},\qquad \lambda^{\prime}~=~\lambda\frac{df}{d\tau}.\end{align}\tag{E}$ Por lo tanto podemos elegir el calibre $\lambda=1$ . Entonces la ec. (D) se reduce a las ecuaciones geodésicas parametrizadas afines más familiares .

Referencias:

J. Polchinski, Teoría de cuerdas vol. 1, 1998; ec. (1.2.5).

Comentario para más tarde: Curiosamente, el 4-momentum canónico $p_{\mu}:=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}= 2\lambda g_{\mu\nu}\dot{x}^{\nu}$ es proporcional al multiplicador de Lagrange indeterminado $\lambda$ . La transferencia de impulso con un entorno exterior puede ser una forma de arreglar $\lambda$ .

mike piedra · Answer 2

Es conceptualmente posible tener una partícula cargada sin masa, aunque no hay ninguna que conozcamos. No es cierto que la fuerza de Lorentz tenga que ser igual a la masa por la aceleración. El momento de una partícula sin masa es una cantidad independiente de su velocidad, ya que todas las partículas sin masa viajan a la velocidad de la luz. El momento $p$ es en cambio igual a $E/c$ , la energía dividida por la velocidad de la luz.

pedernal72 · Answer 3

Para una partícula sin masa no podemos tener un marco de centro de masa.

Lamentablemente, aún no puedo agregar comentarios. ¿Estás estudiando Teoría Clásica de Campos (CFT) o Teoría Cuántica de Campos (QFT)? Mi conjetura es CFT ya que esto parece una línea de algunas conferencias en un curso de CFT cuando comienzas a encontrar ecuaciones de movimiento.

En ese caso, para el fotón (sin masa), $A_{\mu}(x)$ digamos, usamos el Maxwell Lagrangian, que es invariante de Lorentz, y está dado (en unidades de Heaviside-Lorentz) por

L_{METRO a X} = - \frac{1}{4} \int d^{4} X F_{m v} F^{m v}

$\mathcal{L_{Max}} =-\frac{1}{4} \int d^4x \mathcal{F_{\mu \nu}} \mathcal{F^{\mu \nu}}$ dónde

F_{m v} = \partial_{m} A_{v} (X) - \partial_{v} A_{m} (X)

$\mathcal{F_{\mu \nu}} = \partial_{\mu}A_{\nu}(x) - \partial_{\nu}A_{\mu}(x)$

Sé que este es el lagrangiano de campo que está cuantificado en partículas. Pero quiero describir el lagrangiano de una partícula relativista "clásica".
Lo que he escrito aquí es de hecho el Lagrangiano para un campo relativista clásico, $A_{\mu}(x)$ . No entiendo muy bien lo que quiere decir con 'un campo que está cuantificado en partículas'.
Estoy de acuerdo, este es un ejemplo de un Lagrangiano para una partícula sin masa
Jim, Flint72, ambos están perdiendo el sentido de la pregunta del usuario 34669. No se trata de escribir la densidad lagrangiana de un campo, sino de una partícula en el sentido clásico de la palabra. El hecho de que la gente decidiera usar las palabras fotón y partícula sin masa en relación con el vector potencial es irrelevante aquí.
@JánLalinský La pregunta se refiere explícitamente a las partículas relativistas sin masa. Todas las partículas relativistas sin masa conocidas se representan como campos en sus respectivos Lagrangianos. Si nos hemos perdido el punto, por favor díganos cuál es el significado clásico de "partícula". Por lo que sé, no hay una distinción importante entre una densidad lagrangiana que involucre términos cinéticos, de interacción y/o masivos de un campo y la idea clásica de una partícula. El lagrangiano podría tener que describir múltiples campos y estados que interactúan, pero todas las partículas se pueden descomponer en algún nivel.
"Todas las partículas relativistas sin masa conocidas se representan como campos en sus respectivos Lagrangianos". Lo cual tiene sentido solo en el entorno cuántico. El OP está preguntando en el entorno clásico ...
En la Teoría Clásica de Campos incluyes partículas sin masa como un campo, a saber, las que di arriba para el potencial electromagnético/fotón. No es un sistema cuantificado. Los campos no son operadores que actúan sobre un espacio de estados de Hilbert. No hay nada cuántico en lo que escribí arriba. Todo es relativista y clásico, como lo pide el autor de la pregunta.
Flint72, debe especificar @AlexNelson si desea que la persona sea notificada del mensaje
@Jim Ah, lo siento, solo me estoy acostumbrando a este sitio web. Gracias. Lo editaré. ¡Maldita sea, parece que no solo no me permite editar mi comentario anterior, sino que tampoco me deja 'a' más de una persona! Oh bueno, ¡gracias por 'a'-ing AlexNelson para mí!
@ Flint72, el problema con tal razonamiento es que requiere QFT para respaldarlo. El OP preguntaba por una geodésica nula . Produjiste una sección de un paquete . Claramente, estos no son equivalentes , tanto matemática como físicamente (ya que las geodésicas nulas son de giro 0 mientras que su campo es de giro 1). Si uno tratara de escribir una partícula como un campo, tendría su acción $I=\int\delta(x-z(\lambda))\sqrt{g_{\mu\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}\,\mathrm{d}^{4}x\,\mathrm{d}\lambda$ donde los puntos indican $\lambda$ derivados, y nosotros "arreglamos" $z$ al considerar las variaciones.
... y luego obtenemos precisamente la solución publicada por @Qmechanic.

Ján Lalinský · Answer 4

La partícula con masa cero también debe tener carga eléctrica cero, de lo contrario, la fórmula de Lorentz para la fuerza EM que actúa sobre ella no se puede usar para encontrar su aceleración de acuerdo con

metro a = q {mi}_{mi X t} + q \frac{v}{C} \times B_{mi X t} .

$m\mathbf a = q\mathbf{E}_{ext} + q\frac{\mathbf v}{c} \times \mathbf B_{ext}.$ Sin embargo, la partícula con masa cero y carga cero tiene una ecuación de movimiento trivial

0 = 0

$0=0$ y tiene un efecto cero sobre las fuerzas EM sobre otras partículas. Parece un concepto vacío.

¿Estás diciendo que un fotón, con 0 masa y 0 carga, tiene un efecto cero sobre las fuerzas EM de otras partículas?
La pregunta y mi respuesta estaban en el contexto de la teoría clásica, sobre partículas en su sentido clásico, que no tiene nada que ver con los fotones.
La descripción de un fotón como una partícula sin masa que media la fuerza EM surge fácilmente en la teoría de campos clásica. Si un fotón no encaja en la imagen de lo que usted llama "teoría clásica", entonces tampoco lo hará ninguna otra partícula sin masa.
En la teoría de campos clásica, la fuerza EM actúa sobre los cuerpos y esto se describe mediante la fórmula lorentziana para la densidad de fuerza o mediante el tensor de tensión de Maxwell. No hay fotones en esta teoría.
El tensor de intensidad de campo, $F_{\mu\nu}$ , como un término en la densidad de Lagrange describe un término cinético para la $A_{\mu}$ campo. En la teoría clásica, tampoco existe un término de masa para este campo y existe un acoplamiento con las fuerzas EM. Esto es lo que describe el fotón y que media la fuerza EM
Te estás perdiendo el punto de la pregunta. Vea mi comentario a la respuesta de Flint72.

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