Lagrangiano de un péndulo invertido sobre un carro en movimiento

Question

Lagrangiano de un péndulo invertido sobre un carro en movimiento

gilbertocunha

Así que he estado tratando de derivar las ecuaciones de movimiento del péndulo físico invertido en un carro, pero parece que estoy confundido acerca de la derivación de su energía cinética. Sé que este sistema físico es muy popular y mientras he buscado y buscado no pude encontrar una respuesta a mi pregunta en ninguna parte.

Así que dividí la energía cinética en la del carro y la del péndulo:

T = T_{C} + T_{PAG}

$T = T_C + T_P$

El del carro es bastante sencillo. $T_C = 1/2 M \dot{x}^2$ , donde estoy denotando $x$ la coordenada horizontal de la masa puntual del carro.

Mi problema ahora es con la energía cinética del péndulo. Asumiría que tendría que sumar la energía de traslación del punto de pivote $T_{pivot}=1/2 m \dot{x}^2$ a la energía de rotación del péndulo $T_{rot} = 1/2 I \dot{\theta}^2$ , dónde $I$ es el momento de inercia del péndulo con respecto al punto de pivote (Nota: el ángulo $\theta$ elegí es con respecto a la vertical superior, a diferencia de la imagen de arriba).

Con esto obtuve:

L = \frac{1}{2} (METRO + metro) {\dot{X}}^{2} + \frac{1}{2} I {\dot{θ}}^{2} - metro gramo yo porque θ

$\mathcal{L} = \frac{1}{2}(M+m) \dot{x}^2 + \frac{1}{2} I \dot{\theta}^2 - mgl\cos\theta$

Y por lo tanto las ecuaciones de movimiento:

(METRO + metro) \ddot{X} = F (t)

$(M+m) \ddot{x} = F(t)$

I \ddot{θ} - metro gramo yo pecado θ = 0

$I \ddot{\theta} - mgl \sin\theta = 0$

Sin embargo, estas ecuaciones parecen demasiado simples en comparación con las ecuaciones que he visto para este problema. Realmente agradecería si alguien pudiera señalar mis errores.

eli

Su vector de posición al CM es

\vec{R} = [x + l \cos (θ), l \sin (θ)]^{T}

$\vec R= [ x+l\cos(\theta),l\sin(\theta)]^T$ Entonces la energía cinética será?

gilbertocunha

@Eli Consideré la energía cinética de traslación del pivote y no el CM, tal vez esa fue una suposición incorrecta. En ese caso, solo obtendría el

T = 1 / 2 m ({\dot{x_{C M}}}^{2} + {\dot{y_{C M}}}^{2})

$T=1/2 m (\dot{x_{CM}}^2 + \dot{y_{CM}}^2)$ para el péndulo? o tendría que agregar una energía cinética rotacional? (Estaba pensando tal vez con momento de inercia relativo al centro de masa)

eli

no, tienes que tomar la velocidad CM para la traslación y para la rotación

I = I_{c m} + m l^{2}

$I=I_{cm}+m\,l^2$

gilbertocunha

@Eli Gracias por tu ayuda, Eli. Entonces, básicamente, ¿debería considerar la energía cinética de traslación del CM y la rotación relativa al punto de pivote?

Respuestas (3)

Lagrangiano de un péndulo invertido sobre un carro en movimiento

Su vector de posición al CM es $\vec R= [ x+l\cos(\theta),l\sin(\theta)]^T$ Entonces la energía cinética será?
@Eli Consideré la energía cinética de traslación del pivote y no el CM, tal vez esa fue una suposición incorrecta. En ese caso, solo obtendría el $T=1/2 m (\dot{x_{CM}}^2 + \dot{y_{CM}}^2)$ para el péndulo? o tendría que agregar una energía cinética rotacional? (Estaba pensando tal vez con momento de inercia relativo al centro de masa)
no, tienes que tomar la velocidad CM para la traslación y para la rotación $I=I_{cm}+m\,l^2$
@Eli Gracias por tu ayuda, Eli. Entonces, básicamente, ¿debería considerar la energía cinética de traslación del CM y la rotación relativa al punto de pivote?

Tieu Binh · Answer 1

Tuve la misma pregunta y después de leer algunas definiciones, obtuve la respuesta: la energía cinética de un cuerpo rígido que tiene movimiento plano siempre es

T = T_{GRAMO t r a norte s yo a t mi} + T_{r o t a t mi / GRAMO}

$T=T_{Gtranslate}+T_{rotate/G}$

o

T = 1 / 2 METRO v_{GRAMO}^{2} + 1 / 2 {yo}_{GRAMO} ω^{2}

$T=1/2Mv^2_G+1/2l_G\omega^2$

dónde $G$ es el centro de masa. Así que en este péndulo hay que calcular $v_G=\sqrt{\dot{x_G}^2+\dot{y_G}^2}$ y $\omega=\dot{\theta}$ y. Entonces la energía cinética será

T = \frac{1}{2} METRO ({\dot{X_{GRAMO}}}^{2} + {\dot{y_{GRAMO}}}^{2}) + \frac{1}{2} I_{GRAMO} {\dot{θ}}^{2} + T_{C a r t}

$T=\frac{1}{2}M(\dot{x_G}^2+\dot{y_G}^2)+\frac{1}{2}I_G\dot{\theta}^2 + T_{cart}$

Hay un documento del curso MIT 2.003SC que tiene la misma solución: http://bit.ly/PendulumonACart

¡Hola! He editado su respuesta usando la composición tipográfica matemática MathJax (LaTeX). Para publicaciones futuras, puede consultar el tutorial básico de MathJax y la referencia rápida . ¡Gracias!

lucifer · Answer 2

Primero, que el lagrangiano tendrá un término que contenga $F(t)$ , o no obtendrás $(M+m)\ddot{x}=F(t)$ . segundo que si $F(t)$ es una función explícita de $t$ , entonces Lagrangiano será también la función explícita de $t$ y luego tienes que considerar la forma más general de la ecuación de Euler-Langrangian. Para eso, consulte https://physics.stackexchange.com/a/437198/203041 .

esa funcion $F(t)$ es una fuerza no conservativa (por lo tanto, no incluida en el lagriang, creo) que actúa a lo largo del eje x en el carro. Utilizo las fuerzas generalizadas que creo que serían $F(t)$ Para el $x$ coordinar y $0$ Para el $\theta$ coordinar. ¿Me equivoco al hacer esto?

eli · Answer 3

El vector de posición al centro de masa es

\vec{R} = [\begin{matrix} X + L pecado (θ) \\ L porque (θ) \end{matrix}]

$\vec R=\left[ \begin {array}{c} x+L\sin \left( \theta \right) \\ L\cos \left( \theta \right) \end {array} \right]$

de aquí la velocidad del CM

\vec{v} = \frac{d}{d t} (\vec{R}) = [\begin{matrix} \dot{X} + L porque (θ) \dot{θ} \\ - L pecado (θ) \dot{θ} \end{matrix}]

$\vec v=\frac{d}{dt}(\vec R)=\left[ \begin {array}{c} {\dot x}+L\cos \left( \theta \right) \dot\theta \\ -L\sin \left( \theta \right) \dot \theta \end {array} \right]$

entonces la energía cinética

T = \frac{metro}{2} \vec{v} \cdot \vec{v} + \frac{I_{CM}}{2} {\dot{θ}}^{2} + \frac{METRO}{2} {\dot{X}}^{2}

$T=\frac m2\,\vec v\cdot \vec v+\frac{I_{\text{CM}}}{2}\,\dot\theta^2+ \frac M2\,\dot x^2$

la energía potencial es:

tu = - metro gramo L pecado (θ)

$U=-m\,g\,L\sin(\theta)$

Lagrangiano de un péndulo invertido sobre un carro en movimiento

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