¿Es posible definir un tensor de momento de energía para partículas puntuales clásicas a partir de una QFT?

Hay una serie de problemas con la localización en el espacio en QFT. Pero incluso en la mecánica cuántica ordinaria, la función de onda de una partícula en una posición definida se extenderá a medida que pasa el tiempo debido al principio de incertidumbre, por lo que definitivamente no es posible una función delta para todo el tiempo.

Así que responderé a su pregunta para un estado propio de impulso en su lugar. No mostraré todos los cálculos, pero te mostraré cómo hacerlos tú mismo y verás que para un volumen finito V, en el marco de reposo de la partícula,$T_{00}=m/V$y todos los demás componentes desaparecen.

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En primer lugar, dado que su expresión para$T$implica productos de campos en el mismo punto del espacio-tiempo que necesitamos para el orden normal. Entonces para calcular$\langle q|T_{\mu\nu}|q\rangle$, tendrás que encontrar$\langle q|:\partial_\mu\phi(x)\partial_\nu\phi(x):|q\rangle$y$\langle q|:\phi(x)^2:|q\rangle$

Para hacer esto, seguiré la normalización de, por ejemplo, el libro de texto de Peskin. El campo escalar libre es

$$\phi(x)=\int\frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\frac {1}{\sqrt{2E_p}}\left(a_p e^{-ip\cdot x}+a^\dagger_p e^{+ip\cdot x}\right)$$ Y los operadores de aniquilación que actúan sobre los estados propios de cantidad de movimiento dan $$a_p|q\rangle=\sqrt{2E_p}(2\pi)^3\delta^{(3)}(p-q)|0\rangle$$ Entonces, si lo prueba usted mismo, encontrará $$\langle q|:\phi(x)\phi(y):|q\rangle=2\cos q(x-y),\qquad\langle q|:\partial_\mu\phi(x)\partial_\nu\phi(y):|q\rangle=2\cos q(x-y)q_\mu q_\nu$$ Entonces tomando$x=y$, $$\langle q|T_{\mu\nu}|q\rangle =2q_\mu q_\nu,$$ entonces en el marco de reposo de la partícula $$\langle T_{00}\rangle=2m^2$$ .

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Ahora es importante darse cuenta de que los estados$|q\rangle$, no están normalizados para que no tengan unidades. Desde,

$$\langle p|q\rangle=2E_p(2\pi)^3\delta^{(3)}(p-q),$$ en una caja de volumen$V$tenemos, $$\langle p|p\rangle = 2E_p V.$$ Si queremos considerar un valor esperado, tiene sentido normalizar estos estados para tener una norma unitaria.

Entonces, usando estados de impulso normalizados en el marco de reposo

$$\langle T_{00} \rangle = \frac{2m^2}{2mV} = \frac{m}{V}$$