La transformación pasiva de los campos de David Tong está mal

La definición de transformación activa de David Tong es clara. Bajo la transformación activa, las coordenadas (vectores base) no se modifican, sino el campo. Denoto los campos antiguo y nuevo como$\phi$y$\phi'$. Entonces por transformación activa

$\phi'(x) = \phi (\lambda^{-1} x)$.

Tenga en cuenta que he puesto el número primo en el campo y no la coordenada ya que el campo se cambia (rota) y no el sistema de coordenadas.

Para la transformación pasiva Tong escribe

$\phi'(x) = \phi (\lambda x)$. Esto me parece mal. Cambio el sistema de coordenadas de$x$a$x'$y el campo en el antiguo sistema de coordenadas es$\phi(x)$y en el nuevo es$\phi'(x')$. Como es un campo escalar, tengo$\phi'(x') = \phi (x)$. Ahora$x'= \lambda x.$

entonces obtengo

$\phi(x) = \phi'(\lambda x)$. Que claramente no es lo mismo que el de Tong. Ahora creo que la ecuación de Tong no es correcta porque no puedo encontrar ninguna falla en mi definición. Puede alguien por favor explicar esto.

Además, algunos podrían escribir la ley de transformación correcta para un campo vectorial tanto para rotación activa como pasiva (tanto para un campo covariante como contravariante) teniendo en cuenta las siguientes convenciones (que tomo de GR). Mientras lo escribe, especifique la matriz con los cambios de campo, así como la matriz con la que cambia la coordenada, como he escrito anteriormente para un campo escalar.

Cuando A es un vector contravariante se transforma como

$A= \lambda A$

Cuando A es un vector covariante se transforma como

$A'= \lambda^{-1}A.$

Si entiendo correctamente, las transformaciones anteriores son pasivas.

Editar:

Sé que si el vector base se transforma como$e' = \lambda^{-1} e$dónde${e'}$son nuevos vectores base y${e}$son viejos vectores de base, entonces las coordenadas se transforman como$x'= \lambda x$. Y en GR sabemos que los covectores se transforman como vector base (con$\lambda^{-1}$) mientras que las contravariantes se transforman en coordenadas similares (con$\lambda$). Y esta es una transformación pasiva (como en Caroll)

( Utilice esta convención en todo momento )

Así que en GR tenemos$A^{\mu'} = \lambda^{\mu'}{ }_{\nu} A^{\nu}$-> (1)

y$A_{\mu'} =( \lambda^{-1})_{\mu'}{ }^{\nu} A_{\nu}$

Ahora tengo estas preguntas específicas:

1. En las transformaciones anteriores, los componentes del vector (o covector), i. mi$A^{\nu}$cambiar. Pero ninguno de los libros (Caroll) menciona el cambio en los argumentos. Por qué es así. ¿Por qué no cambian los argumentos también? Mientras que también ha escrito la transformación para coordenadas .

Entonces debería (1) ser realmente

$A^{\mu'}(x') = \lambda^{\mu'}{ }_{\nu} A^{\nu}(x)$

->$A^{\mu'}(\lambda x) = \lambda^{\mu'}{ }_{\nu} A^{\nu}(x)$

y$A_{\mu'}(x') = (\lambda^{-1})_{\mu'}{ }^{\nu} A_{\nu}(x)$

->$A_{\mu'}(\lambda x) = (\lambda^{-1})_{\mu'}{ }^{\nu} A_{\nu}(x)$

porque recuerda que en mi notación las coordenadas cambian como$x'= \lambda x$(así que acabo de reemplazar eso. Pero no está obteniendo el mismo resultado que el mío. ¿Me equivoco en el cálculo o la comprensión? ¿Debería ser eq (1) como arriba (con cambio en las coordenadas representadas también o sin eso como libros GR denote) . Todo esto que he escrito es para transformación pasiva, porque las coordenadas han cambiado (y la forma funcional del campo/vector). Por favor, indique si lo que he escrito es correcto o no. Si es incorrecto, indique cuál la ecuación exacta o la comprensión es incorrecta.

2. Ahora, en base a mi conocimiento de la transformación anterior de vectores base (con la matriz inversa), intento formar la transformación activa. Aquí cambian los campos/vectores y no las coordenadas. Así que realmente debería estar usando la matriz inversa$\lambda^{-1}$( es correcto este razonamiento ) al escribir el cambio de las contravariantes (porque ahora sus componentes no han cambiado sino que han sido rotados. Y debería usar la matriz directa ($\lambda$) para las covariantes porque su transformación es inversa a la contravariante. Entonces

$A^{\mu'}(x) =( \lambda^{-1})^{\mu'}{ }_{\nu} A^{\nu}(x)$(No hay cambios en los argumentos ya que no se cambian).

y$A_{\mu'}(x) = \lambda_{\mu'}{ }^{\nu}A_{\nu}(x)$(No hay cambios en los argumentos ya que no se cambian).

Nuevamente, indique si algo está mal aquí, precisamente la ecuación o suposición exacta.

3. Por último sé por un campo escalar

Como es un campo escalar, tengo$\phi'(x') = \phi (x)$. Ahora$x'= \lambda x.$

entonces obtengo

$\phi(x) = \phi'(\lambda x)$.

¿Qué es exactamente lo que está mal aquí? Entiendo su Transformación Activa, pero no puedo entender qué estoy haciendo mal con la Transformación Pasiva. Por favor, señale el error.