Si un campo vectorial Killing es similar al tiempo, ¿puede establecerse en ∂/∂t∂/∂t\partial/\partial t?

@Phoenix87 da en el clavo, pero explicaré un poco.

Definición 1 Un espacio-tiempo$(M,g)$es estacionario si existe un campo de muerte similar al tiempo$K$, es decir, un campo vectorial$K$tal que$\langle K,K\rangle<0$y$\mathcal{L}_Kg=0$.

Mostraremos que la Definición 1 implica la existencia de coordenadas locales para las cuales$g_{\mu\nu}$es independiente del tiempo.

Elija una hipersuperficie similar al espacio$\Sigma$de$M$y considere las curvas integrales de$K$que pasa a través$\Sigma$. En$\Sigma$elegimos coordenadas arbitrarias e introducimos coordenadas locales de$M$de la siguiente manera: Si$p=\phi_t(p_0)$, dónde$p_0\in\Sigma$y$\phi_t$es el flujo de$K$, entonces las coordenadas de Lagrange de$p$son$(t,\vec{x}(p_0))$. En términos de estas coordenadas, tenemos

La idea aproximada: tomar el flujo local del campo vectorial y usarlo para obtener una nueva coordenada de "tiempo". En general, esto funcionará localmente , por lo que debe parchear su variedad con subconjuntos abiertos lo suficientemente pequeños donde luego puede definir el nuevo conjunto de coordenadas donde ahora corresponde el campo del vector Killing$\partial_t$.

Comentarios a la pregunta (v3):

1. Dada una variedad$M$, si un campo vectorial uniforme$X\in \Gamma(TM)$no se desvanece en un punto$p\in M$, entonces uno puede elegir un vecindario de coordenadas locales$U\subseteq M$de$p$, con coordenadas locales$(x^1, \ldots, x^n)$, de modo que$X=\frac{\partial}{\partial x^1}$. Este procedimiento a veces se denomina estratificación o enderezamiento de un campo vectorial. Es un caso especial del teorema de Frobenius .

2. Un campo vectorial temporal$X$no desaparece por definición, por lo que puede estratificarse localmente$X=\frac{\partial}{\partial x^1}$, cf. 1. Desde$X$es temporal, uno lo llamaría$x^1$una coordenada de tiempo.

3. La propiedad del campo del vector Killing es irrelevante para la estratificación local.