¿La tierra gira en un tiempo más corto a 0m que a 5000m?

Este es un cálculo divertido, así que vamos a intentarlo. Lo que tenemos que hacer es calcular la dilatación del tiempo para un observador que gira con la Tierra y ver cómo cambia con la altura.

Para ello partimos de la geometría del espacio-tiempo cerca de la Tierra, que está descrita (aproximadamente) por la métrica de Schwarzschild:

$$c^2d\tau^2 = \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 - \frac{dr^2}{1 - \frac{2GM}{c^2r}} - r^2\left(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2\right) \tag{1}$$

$\tau$es el tiempo registrado por un reloj llevado por nuestro observador giratorio, y$t$es el tiempo registrado por un reloj llevado por un observador lo suficientemente lejos de la Tierra para que la gravedad de la Tierra sea despreciable. La dilatación del tiempo es entonces:

$$\text{time dilation} = \frac{d\tau}{dt}$$

así que eso es lo que vamos a calcular.

Consideraremos un observador que está estacionario en el ecuador entonces$\theta=\pi/s$y$d\theta=0$, y a distancia$r$del centro de la Tierra. El observador no se mueve radialmente hacia adentro o hacia afuera, por lo que$dr=0$. Si ponemos este lote en la ecuación (1) se simplifica a:

$$c^2d\tau^2 = \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 - r^2d\phi^2 \tag{2}$$

Necesitamos eliminar$d\phi$y lo hacemos notando que si$\omega$es la velocidad angular con la que gira la Tierra entonces:

$$\frac{d\phi}{dt} = \omega$$

y por lo tanto:

$$d\phi = \omega dt$$

Y podemos sustituir$d\phi$en la ecuación (2) para obtener:

$$c^2d\tau^2 = \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 - r^2\omega^2dt^2$$

Y esto nos da la ecuación que queremos para la dilatación del tiempo:

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1-\left(\frac{2GM}{c^2r} + \frac{r^2\omega^2}{c^2}\right)} \tag{3}$$

Y la ecuación (3) es el resultado que necesitamos. A medida que avanzamos hacia arriba, es decir, en la dirección de aumentar$r$, entonces el término$2GM/c^2r$disminuye y el término$r^2\omega^2/c^2$aumenta, y la pregunta es qué sucede con la suma:

$$T = \frac{2GM}{c^2r} + \frac{r^2\omega^2}{c^2}$$

Si$T$aumenta con la altura (aumentando$r$) entonces la dilatación del tiempo aumenta a medida que subimos, mientras que si$T$disminuye con la altura, entonces la dilatación del tiempo disminuye a medida que subimos. Para averiguar qué sucede, simplemente diferenciamos con respecto a$r$:

$$\frac{dT}{dr} = -\frac{2GM}{c^2r^2} + \frac{2r\omega^2}{c^2} \tag{4}$$

El radio de la Tierra en el ecuador es$r \approx 6378000$m y la velocidad angular es$2\pi$radianes en 24 horas entonces$\omega \approx 7.272 \times 10^{-5}$radianes por segundo. Ponga estos valores en la ecuación (4) y obtenemos:

$$\frac{dT}{dr} \approx -2.176 \times 10^{-16} + 7.496 \times 10^{-19} \approx -2.169 \times 10^{-16}$$

Y ahí está tu respuesta. En la superficie de la Tierra, la dilatación del tiempo para un observador que gira con la Tierra disminuye con la altura, es decir, el tiempo corre más rápido a medida que se asciende. La Tierra tarda más en girar para el observador superior.

¿La tierra gira en un tiempo más corto a 0m que a 5000m?

No. Si lo hiciera, estaría torciendo, y no lo está. La velocidad de rotación de la Tierra en relación con las estrellas fijas es la misma en todas las elevaciones. Un punto al nivel del mar tarda un día en dar una vuelta completa, y un punto a 5000 m tarda el mismo tiempo en dar una vuelta completa.

Sabemos que el período de rotación de la tierra (día estelar) es 86164.098 903 691 segundos de tiempo solar medio. Se supone que a 0m el tiempo está más dilatado que a 5000m debido a la dilatación del tiempo gravitacional.

Es. Los relojes van más lentos cuando están más bajos.

Entonces, hipotéticamente, contamos menos nanosegundos a 0 m en relación con 5000 m de altitud.

No solo hipotéticamente. Vea la entrevista con David Wineland de NIST donde habla sobre los relojes ópticos: "Si un reloj en un laboratorio es 30 centímetros más alto que el reloj en el otro laboratorio, podemos ver la diferencia en las velocidades a las que funcionan" .

Entonces, suponiendo que esto sea cierto, el día estelar es más corto a 0 m que a 5000 m.

Sí, aunque es un tecnicismo. Tus relojes van más lentos cuando estás más bajo, por lo que tu medida es diferente. Mientras tanto, la Tierra gira en su propio tiempo dulce al mismo ritmo en todas las elevaciones.

¿No significa que tenemos una percepción de una rotación más rápida de la tierra a 0m que a 5000m? ¿Una rotación más rápida en un marco dilatado?

Sí lo hace. Pero es nuestra percepción. La Tierra no gira realmente más rápido a 0 m. Además, la diferencia que percibimos es muy leve. La dilatación del tiempo gravitatorio en la superficie de la Tierra es sólo una parte en ^10-9 . Apenas lo notamos, aunque debemos tenerlo en cuenta en nuestros satélites GPS . Es mucho más significativo para una estrella de neutrones. Un reloj en la superficie de una estrella de neutrones iría aproximadamente 0,8 veces más rápido que un reloj en la superficie de la Tierra.