¿Dilatación del tiempo relativista en Marte en comparación con la Tierra?

Podemos calcular la dilatación del tiempo aproximadamente usando la aproximación de campo débil. Si la diferencia en el potencial gravitatorio newtoniano entre dos puntos$A$y$B$es$\Delta\Phi$entonces la aproximación de campo débil nos dice que la velocidad relativa a la que marcan los relojes en los dos puntos está dada por:

Seamos claros sobre la notación y las convenciones de signos. Tome su ejemplo de la Tierra y Marte como ejemplo.$\Delta\Phi_{AB}$es el cambio en la energía potencial que sale de la Tierra ($A$) a Marte ($B$), y dado que al ir de la Tierra a Marte significa que la energía potencial se vuelve menos negativa, eso significa$\Delta\Phi_{AB} \gt 0$. Eso significa que el lado derecho de la ecuación (1) es menor que uno, por lo que la fracción$\Delta t_A/\Delta t_B$es menos de uno. Esto significa que el tiempo transcurre más lentamente en la Tierra que en Marte.

Calcular$\Delta\Phi$simplemente:

1. calcular el cambio de energía potencial (positivo) para abandonar la superficie de la Tierra (manteniéndose a la misma distancia del Sol)

2. calcule el cambio de energía potencial (positivo) para moverse desde la distancia Sol-Tierra hacia afuera hasta la distancia Sol-Marte

3. calcular el cambio de energía potencial (negativa) para descender a la superficie de Marte (permaneciendo a la misma distancia del Sol)

luego sume los tres cambios de energía potencial para obtener el total$\Delta\Phi$y conéctelo a la ecuación (1). Dejo esto como ejercicio para el lector.

Estrictamente hablando, esto solo calcula la dilatación del tiempo gravitacional e ignora la dilatación del tiempo debida a la velocidad orbital de la Tierra y Marte. En el límite de campo débil, simplemente puede multiplicar la dilatación del tiempo debido a la gravedad y la velocidad orbital.

Dejar$G$Sea la constante de gravedad ($6.67\times 10^{-11} m3/(kgs^2)$),$C$la velocidad de la luz ($2.99792\times 10^8 m/s$),$M_S$la masa del sol ($1.9891\times 10^{30} kg$),$r_E$el radio medio de la órbita de la Tierra ($1.496\times 10^{11} m$),$r_M$el radio medio de la órbita de Marte ($2.2799\times 10^{11} m$),$ρ_E$el radio medio de la Tierra ($6.37\times 10^6 m$), y$ρ_M$el radio medio de Marte ($3.3895\times 10^6 m$).

Debe calcular cuál debería ser el radio de un cuerpo para formar un agujero negro (radio de Schwarzschild) antes de poder calcular el efecto de su gravedad en la dilatación del tiempo.

Schwarzschild radio del sol

Dilatación del tiempo por la gravedad del Sol.

Velocidad orbital

Dilatación del tiempo de la velocidad orbital

Schwarzschild radio del planeta

Dilatación del tiempo por la gravedad del planeta.

La dilatación del tiempo de la rotación del planeta es insignificante y varía con la latitud, así que la ignoré aquí.

me acerco$5.64444\times 10^{-9}$o alrededor de 1,78 segundos al año o 3,35 segundos al año de Marte.

Si usa más correctamente las dilataciones y no los deltas, debe multiplicar las sumas gravitacional y de velocidad. Da como resultado la misma respuesta con una precisión razonable.